拓扑几何学

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一,欧拉定理

1,平面图论图

2,单连通多面体

3,一般多面体


一,欧拉定理

1,平面图论图

在一个联通无向图中,点数-边数+面数 = 1

如:

7-12+6 = 1

如果把最外面的五边形外面也算作一个面,那就是点数-边数+面数 = 2,即V-E+F=2

可以用数学归纳法证明:

2,单连通多面体

对于一个单连通多面体,点数-边数+面数 = 2

如:正方体

8-12+6=2

证明:

可以把多面体映射成图论图,直接利用图论图的结论即可。

如正方体映射成平面图:

3,一般多面体

V+F-E=X(P)

X(P)是多面体P的欧拉示性数。如果多面体P是同胚于一个球面的,那么X(P)=2,如果P同胚于一个接有h个环柄的球面(下图),那么X(P)=2-2h。

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