线性判别分析的多分类情况
情况一
若存在超平面 d i ( x ) = w i x d_i(x)=w_ix di(x)=wix可以将属于 w i w_i wi与不属于 w i w_i wi范围的划开
d i ( x ) = w i T x = { > 0 , i f x ∈ w i < 0 , i f x ∉ w i (1) d_i(x)=w_i^Tx= \begin{cases}> 0 ,\quad if \ x \in w_i\\ < 0, \quad if \ x \notin w_i \end{cases} \tag{1} di(x)=wiTx={>0,if x∈wi<0,if x∈/wi(1)
即通过一个判别函数把整个空间划分成一个 w i w_i wi与不属于 w i w_i wi的范围。就可以将一个M分类问题转化为M个多分类问题。
但是当存在多个 d i ( x ) > 0 d_i(x)>0 di(x)>0的区域或者全部的 d i ( x ) < 0 d_i(x)<0 di(x)<0时，则分类失败，此类空间被称为不确定区域。
情况二
若存在超平面 d i j ( x ) = w i j x d_{ij}(x)=w_{ij}x dij(x)=wijx可以将属于 w i w_i wi与属于 w j w_j wj的范围划开
d i j ( x ) = w i j x = { > 0 , x ∈ w i < 0 , x ∈ w j ∀ i ≠ j d_{ij}(x)=w_{ij}x= \begin{cases}>0 \quad,\quad x\in w_i\\ <0 \quad,\quad x\in w_j \end{cases} \quad \forall i \not=j dij(x)=wijx={>0,x∈wi<0,x∈wj∀i=j
其中满足 d i j ( x ) = − d j i ( x ) d_{ij}(x)=-d_{ji}(x) dij(x)=−dji(x)。
则可以将一个M分类问题转化为 n ( n − 1 ) 2 \frac{n(n-1)}{2} 2n(n−1)个二分类问题。
对所有的 d i j ( x ) d_{ij}(x) dij(x)而言，若 ∀ i ≠ j d i j > 0 \forall i \not=j d_{ij}>0 ∀i=jdij>0，则被称为不确定区域。
情况三
对于没有不确定区域的情况二，
可以将情况二分解为
d i j = d i ( x ) − d j ( x ) = ( w i − w j ) T x d k ( x ) = w k T x , k = 1 , 2 , 3 , . . . , M d_{ij}=d_i(x)-d_j(x)=(w_i-w_j)^Tx\\ d_k(x)=w_k^Tx\quad,\quad k=1,2,3,...,M dij=di(x)−dj(x)=(wi−wj)Txdk(x)=wkTx,k=1,2,3,...,M
若 ∀ i ≠ j , d i ( x ) > d j ( x ) \forall i \not=j,d_i(x)>d_j(x) ∀i=j,di(x)>dj(x)，则 x ∈ w i x\in w_i x∈wi。
若 d k ( x ) = m a x { d k ( x ) , k = 1 , 2 , 3 , . . . M } d_k(x)=max\{d_k(x),k=1,2,3,...M\} dk(x)=max{dk(x),k=1,2,3,...M}，则 x ∈ w i x \in w_i x∈wi。
即可以把一个M分类问题转化为M-1个多分类问题。