文章目录
- 一、虚拟汽车加油问题
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- [1.1 问题描述](#1.1 问题描述)
- [1.2 思路分析](#1.2 思路分析)
- [1.3 代码编写](#1.3 代码编写)
- 二、最优分解问题
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- [2.1 问题描述](#2.1 问题描述)
- [2.2 思路分析](#2.2 思路分析)
- [2.3 代码编写](#2.3 代码编写)
一、虚拟汽车加油问题
1.1 问题描述
一辆虚拟汽车加满油后可行驶 n n n km。旅途中有若干加油站。设计一个有效算法，指出应在哪些加油站停靠加油，使沿途加油次数最少，计算最少加油次数。
数据输入：
第一行有两个整数n和k，表示汽车加满油后可行驶n km,且路途中有k个加油站。接下来的一行中有k+1个整数，表示第k个加油站与k-1个加油站之间的距离。第0个加油站表示处出发地，汽车已加满油，第k+1个加油站便是目的地。
数据输出：
将计算的最少加油次数输出，如果无法到达目的地，则输出 "No Solution"。
1.2 思路分析
贪心策略：只要汽车能赶到下一个加油站，就不用加油；否则在当前加油站加满油再出发。
1.3 代码编写
样例输入：
7 7
1 2 3 4 5 1 6 6
样例输出：
4
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
int n,k;
cin>>n>>k;
int a[k+1];
for(int i=0; i<k+1; i++){
cin>>a[i];
}
bool f=0;
int sum=0,gas=n; //gas表示当前的油还可以走多少km
for(int i=0; i<k+1; i++)
{
if(n<a[i])//出现两个加油站之间距离大于n则肯定到达不了目的地
{
f=1;
}
if(gas<a[i])//当前的油不够行驶
{
sum++;
gas=n;
}
gas=gas-a[i];
}
if(f)
{
cout<<"No Solution\n";
}
else
{
cout<<"最少加油次数："<<sum<<endl;
}
return 0;
}
二、最优分解问题
2.1 问题描述
设 n n n 是一个正整数。现在要求将 n n n 分解为若干互不相同的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大。
数据输入：
输入一个正整数n。
数据输出：
输出计算得出的最大乘积。
2.2 思路分析
1. 整数的一个性质：若 a + b = N ( 常数 ) a + b =N(常数) a+b=N(常数)，则 ∣ a − b ∣ | a - b | ∣a−b∣ 越小， a ∗ b a * b a∗b 越大。
2. 分析： n n n 为整数相加之和，常数不变。 （ a + b ) 2 = ( a − b ) 2 + 4 a b = n 2 --- > a b = ( n 2 − ( a − b ) 2 ) / 4 （a+b)^2 = (a-b)^2 +4ab =n^2 ---> ab=(n^2 -(a-b)^2)/4 （a+b)2=(a−b)2+4ab=n2--->ab=(n2−(a−b)2)/4；所以若 a + b = 常数 a+b=常数 a+b=常数，则 a − b a-b a−b 的绝对值越小， a b ab ab 值越大。
3. 思路：因为要使乘积最大，所以要尽量分解为相似大小的数。分解时，因数从 2 2 2 开始，每次加 1 1 1， n = n − a [ i ] n=n-a[i] n=n−a[i]，保证剩下的数比下一次的数大。
所以最优分解为从 2 2 2 开始连续的自然数最好，最终分解剩余了一个余数，从分解的最后项依次加 1 1 1 即可（这样乘积中大的数会更大，总的乘积会更大）。
4. 例如：分解 13 13 13 分解为 2 、 3 、 4 2、3、4 2、3、4，还剩下 4 4 4，不够继续分解的下一个数 5 5 5，就把 4 4 4 依次分配给前面的因子，分配顺序是 4 = > 3 = > 2 4 => 3 => 2 4=>3=>2。所以最终结果为 3 、 4 、 6 3、4、6 3、4、6，这就是最大乘积的因子。（分配顺序为从大到小，如果还剩下，就继续分配，直到分完变为 0 0 0 为止）。
2.3 代码编写
样例输入：
10
样例输出：
30
cpp
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int a[100];
int n,i=1,j;
int sum=1;
cin>>n;
a[0]=2;
n=n-a[0];
while(n>a[i-1]) //a[i-1]=2
{
a[i]=a[i-1]+1; //第二个因子是3，往后依次......
n=n-a[i];
i++;
}
while(n>0) //余数依次减1，加在已分配好的因子上
{
for(j=0;j<i;j++)
{
a[i-j-1]++; //从最大的数开始加1
n--; //余数减1
if(n==0) //若n不等于0，继续执行下一轮分配
{
break;
}
}
}
j=0;
while(j<i) //求最终的乘积
{
sum=sum*a[j];
j++;
}
cout<<sum;
return 0;
}