代码随想录算法训练营第二十九天 | 回溯算法总结

​

代码随想录算法训练营第二十九天 | 回溯算法总结

1. 组合问题

1.1 组合问题

在77. 组合中，我们开始用回溯法解决第一道题目：组合问题。

回溯算法跟k层for循环同样是暴力解法，为什么用回溯呢？回溯法的魅力，用递归控制for循环嵌套的数量！

把回溯问题抽象为树形结构，如图：

可以直观的看出其搜索的过程：for循环横向遍历，递归纵向遍历，回溯不断调整结果集。

优化回溯算法只有剪枝一种方法，树形结构如图：

剪枝精髓是：for循环在寻找起点的时候要有一个范围，如果这个起点到集合终止之间的元素已经不够题目要求的k个元素了，就没有必要搜索了。

在for循环上做剪枝操作是回溯法剪枝的常见套路！ 后面的题目还会经常用到。

1.2 组合总和

组合总和（一）

在216. 组合总和 III中，相当于在77. 组合加了一个元素总和的限制。

树形结构如图：

整体思路还是一样的，本题的剪枝会好想一些，即：已选元素总和如果已经大于n（题中要求的和）了，那么往后遍历就没有意义了，直接剪掉，如图：

在本题中，依然还可以有一个剪枝，就是77. 组合剪枝中提到的，对for循环选择的起始范围的剪枝。所以剪枝的代码可以在for循环加上 i <= 9 - (k - path.size()) + 1的限制！

组和总和（二）

在39. 组合总和中讲解的组合总和问题，和77.组合与216.组合总和III的区别是：本题没有数量要求，可以无限重复，但是有总和的限制，所以间接的也是有个数的限制。

本题还需要startIndex来控制for循环的起始位置，对于组合问题，什么时候需要startIndex呢？

如果是一个集合来求组合的话，就需要startIndex，例如：​77.组合与216.组合总和III

如果是多个集合取组合，各个集合之间相互不影响，那么就不用startIndex，例如：17. 电话号码的字母组合
以上我只是说求组合的情况，如果是排列问题，又是另一套分析的套路。​

树形结构如下：

本题的剪枝优化，如下：

for (int i = idx; i < candidates.length; i++) {
            // 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
            if (sum + candidates[i] > target) break;

优化后树形结构如下：

组合总和（三）

在组合总和II中集合元素会有重复，但要求解集不能包含重复的组合。

所以难就难在去重问题上了。

为了讲解这个去重问题，科普两个概："树枝去重"和"树层去重"。

"树枝去重"和"树层去重"出自代码随想录Carl

都知道组合问题可以抽象为树形结构，那么"使用过"在这个树形结构上是有两个维度的，一个维度是同一树枝上"使用过"，一个维度是同一树层上"使用过"。没有理解这两个层面上的"使用过" 是造成大家没有彻底理解去重的根本原因。

我在图中将used的变化用橘黄色标注上，可以看出在candidates[i] == candidates[i - 1]相同的情况下：

• used[i - 1] == true，说明同一树枝candidates[i - 1]使用过
• used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过

对于去重，其实排列和子集问题也是一样的道理。

1.3 多个集合求组合

在17.电话号码的字母组合中，开始用多个集合来求组合，还是熟悉的模板题目，但是有一些细节。

例如这里for循环，可不像是在​77.组合与216.组合总和III中从startIndex开始遍历的。
因为本题每一个数字代表的是不同集合，也就是求不同集合之间的组合，而​77.组合与216.组合总和III都是是求同一个集合中的组合！

树形结构如下：

1.4 切割问题

在131.分割回文串中，我们开始讲解切割问题，虽然最后代码看起来好像是一道模板题，但是从分析到学会套用这个模板，是比较难的。

以下是几个难点：

• 切割问题其实类似组合问题
• 如何模拟那些切割线
• 切割问题中递归如何终止
• 在递归循环中如何截取子串
• 如何判断回文

如果想到了用求解组合问题的思路来解决切割问题 本题就成功一大半了，接下来就可以对着模板照葫芦画瓢。

但后续如何模拟切割线，如何终止，如何截取子串，其实都不好想，最后判断回文算是最简单的了。

除了这些难点，本题还有细节，例如：切割过的地方不能重复切割所以递归函数需要传入i + 1。

树形结构如下：

子集问题

子集问题（一）

在78. 子集中讲解了子集问题，在树形结构中子集问题是要收集所有节点的结果，而组合问题是收集叶子节点的结果。

如图：

认清这个本质之后，今天的题目就是一道模板题了。

本题其实可以不需要加终止条件，因为startIndex >= nums.size()，本层for循环本来也结束了，本来我们就要遍历整棵树。

不写终止条件会不会无限递归呢？

并不会，因为每次递归的下一层就是从i+1开始的。

如果要写终止条件，注意：result.add(new ArrayList<>(path));要放在终止条件的上面，如下：

result.add(new ArrayList<>(path));//「遍历这个树的时候，把所有节点都记录下来，就是要求的子集集合」。
        if (startIndex >= nums.length){ //终止条件可不加
            return;
        }

子集问题（二）

在90.子集II中，开始针对子集问题进行去重。

本题就是78. 子集的基础上加上了去重，去重我们在组合总和II也讲过了，一样的套路。

树形结构如下：

递增子序列

在491.递增子序列中，处处都能看到子集的身影，但处处是陷阱，值得好好琢磨琢磨！

树形结构如下：

很多同学都会把这道题目和90.子集II混在一起。

2. 排列问题

排列问题（一）

46. 全排列又不一样了。

排列是有序的，也就是说 [1,2] 和 [2,1] 是两个集合，这和之前分析的子集以及组合所不同的地方。

可以看出元素1在[1,2]中已经使用过了，但是在[2,1]中还要在使用一次1，所以处理排列问题就不用使用startIndex了。

如图：

大家此时可以感受出排列问题的不同：

• 每层都是从0开始搜索而不是startIndex
• 需要used数组记录path里都放了哪些元素了

排列问题（二）

排列问题也要去重了，在47. 全排列 II中又一次强调了"树层去重"和"树枝去重"。

树形结构如下：

这道题目神奇的地方就是used[i - 1] = = false也可以，used[i - 1] = = true也可以！

本题used数组即是记录path里都放了哪些元素，同时也用来去重，一举两得。