逻辑回归

二分类情况

对于二分类问题，在线性可分的情况下，试图构建一个判别式 W ′ X ′ + b {W'X'+b} W′X′+b，为了便于操作将判别式增广为 W X {WX} WX。
W x i = { > 0 , x i ∈ w 1 , Y = 1 < 0 , x i ∈ w 2 , Y = 0 {Wx_i}=\begin{cases} \ >0, \quad x_i \in w_1,Y=1\\ <0, \quad x_i \in w_2,Y=0 \end{cases} Wxi={ >0,xi∈w1,Y=1<0,xi∈w2,Y=0

为了将其表示为概率的方式我们对概率建模，将其缩放为 $0 , 1$ $0,1$ $0,1$ 的范围上，所以我们利用sigmoid函数 1 1 + e − x \frac{1}{1+e^{-x}} 1+e−x1。

由此我们设分类为 w 1 w_1 w1的概率为
P ( Y = 1 ∣ x ) = 1 1 + e − W x P(Y=1|x)=\frac{1}{1+e^{-Wx}} P(Y=1∣x)=1+e−Wx1

设：
P ( Y = 1 ∣ x i ) = P ( x i ) P ( Y = 0 ∣ x i ) = 1 − P ( x i ) P(Y=1|x_i)=P(x_i)\\ P(Y=0|x_i)=1-P(x_i) P(Y=1∣xi)=P(xi)P(Y=0∣xi)=1−P(xi)

由此构建似然函数：
L ( W ) = ∏ $P ( x i )$ y i $1 - P ( x i )$ ( 1 − y i ) L(W)=\prod $P(x_i)$ ^{y_i} $1-P(x_i)$ ^{(1-y_i)} L(W)=∏ $P(xi)$ yi $1-P(xi)$ (1−yi)

对似然函数取对数：
I n ( L ( W ) ) = ln ⁡ ( ∏ $P ( x i )$ y i $1 - P ( x i )$ ( 1 − y i ) ) = ∑ ( ln ⁡ ( $P ( x i )$ y i ) + ln ⁡ ( $1 - P ( x i )$ ( 1 − y i ) ) ) = ∑ ( y i ln ⁡ ( $P ( x i )$ ) + ( 1 − y i ) ln ⁡ ( $1 - P ( x i )$ ) ) = ∑ $y i \cdot W x i - ln ( 1 + e W x i )$ \begin{aligned} In(L(W)) &=\ln(\prod $P(x_i)$ ^{y_i} $1-P(x_i)$ ^{(1-y_i)})\\ &=\sum (\ln( $P(x_i)$ ^{y_i})+\ln( $1-P(x_i)$ ^{(1-y_i)}))\\ &=\sum ({y_i}\ln( $P(x_i)$ )+{(1-y_i)}\ln( $1-P(x_i)$ ))\\ &=\sum $y_i\\cdot Wx_i-\\ln(1+e\^{Wx_i})$ \end{aligned} In(L(W))=ln(∏ $P(xi)$ yi $1-P(xi)$ (1−yi))=∑(ln( $P(xi)$ yi)+ln( $1-P(xi)$ (1−yi)))=∑(yiln( $P(xi)$ )+(1−yi)ln( $1-P(xi)$ ))=∑ $yi\cdotWxi-ln(1+eWxi)$

为了最大化似然，即最小化似然的负数

使似然除以样本总数n（减少梯度爆炸出现的概率），再乘以-1（将求最大值问题转化为求最小值问题
J ( W ) = − 1 N ∑ ( ln ⁡ ( $P ( x i )$ y i ) + ln ⁡ ( $1 - P ( x i )$ ( 1 − y i ) ) ) J(W)=-\frac{1}{N}\sum (\ln( $P(x_i)$ ^{y_i})+\ln( $1-P(x_i)$ ^{(1-y_i)})) J(W)=−N1∑(ln( $P(xi)$ yi)+ln( $1-P(xi)$ (1−yi)))

采用梯度下降的方法：
∂ J ( W ) ∂ W = − 1 N ∑ ( y i − P ( x i ) ) x i \frac{\partial J(W)}{\partial W}=-\frac{1}{N}\sum (y_i-P(x_i))x_i ∂W∂J(W)=−N1∑(yi−P(xi))xi

更新 W W W:
W k + 1 = W k − α ∂ J ( W ) ∂ W , k 为迭代次数 , α 为学习率 W^{k+1}=W^{k}-\alpha\frac{\partial J(W)}{\partial W},\quad k为迭代次数,\alpha为学习率 Wk+1=Wk−α∂W∂J(W),k为迭代次数,α为学习率

当 ∣ ∣ W k + 1 − W k ∣ ∣ ||W^{k+1}-W^{k}|| ∣∣Wk+1−Wk∣∣小于阈值时或者当 k k k达到最大迭代次数时停止迭代。

逻辑回归是在线性回归的基础上加了一个 Sigmoid 函数（非线形）映射，使得逻辑回归称为了一个优秀的分类算法。本质上来说，两者都属于广义线性模型，但他们两个要解决的问题不一样，逻辑回归解决的是分类问题，输出的是离散值，线性回归解决的是回归问题，输出的连续值。

多分类问题

为了实现多分类，我们引入一个softmax函数： softmax ( x i ) = e x i ∑ j e x j \text{softmax}(x_i) = \frac{e^{x_i}}{\sum_j e^{x_j}} softmax(xi)=∑jexjexi来代替Sigmoid函数，同构建模型： Y = W X i Y=WX_i Y=WXi，其中 Y Y Y为一个列向量，第 i i i个数表示第 i i i个类别的概率。

其中修改损失函数:
J ( W ) = − 1 n $\sum i = 1 n \sum j = 1 k 1 { j ( i ) = j } \cdot log ( e W x i \sum l = 1 k e W x i )$ J(W)=-\frac{1}{n}\left $\\sum_{i=1}\^n\\sum_{j=1}\^k 1_{\\{j\^{(i)}=j\\}}\\cdot\\log (\\frac{e\^{Wx_i}}{\\sum_{l=1}\^k e\^{Wx_i}})\\right$ J(W)=−n1 $i=1\sumnj=1\sumk1{j(i)=j}\cdotlog(\suml=1keWxieWxi)$

其中 1 { j ( i ) = j } 1_{\{j^{(i)}=j\}} 1{j(i)=j}表示第 i i i类分类正确时为1，否则为0， k k k为类别数。