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【动态规划】【数组】
题目来源
题目解读
你手里有 n 个一样的骰子，每个骰子都有 k 个面，分别标号 1 到 n。给定三个整数 n，k 和 target，返回这个 n 个骰子正面朝上的数字组成 target 的所有方案数。答案可能很大，返回对 1 e 9 + 7 1e9+7 1e9+7 取模后的值。
解题思路
方法一：动态规划
我们可以使用动态来解决本题。
状态
记 f[i][j] 表示使用 i 个骰子且数字和为 j 的方案数。
转移关系
我们可以枚举最后一个骰子的数字，数字的范围在 [1, k]，使用 i 个骰子组成的数字和为 j 的方案数为:
f [ i , j ] = ∑ x = 1 k f [ i − 1 ] [ j − k ] f\left[ i,j \right] =\sum_{x=1}^k{f\left[ i-1 \right] \left[ j-k \right]} f[i,j]=x=1∑kf[i−1][j−k]
base case
f[0][0] = 1，计即我们还没有掷骰子，数字之和为 0 时的方案数。
最终返回
最终返回 f[n][target]，表示使用 n 个骰子正面朝上的数字组成 target 的所有方案数
实现代码
cpp
class Solution {
public:
int numRollsToTarget(int n, int k, int target) {
if (target < n || target > n * k) {
return 0;
}
const int MOD = 1e9 + 7;
vector<vector<int>> f(n+1, vector<int>(target+1));
f[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = 0; j <= target; ++j) {
for (int x = 1; x <= k; ++x) {
if (j - x >= 0) {
f[i][j] = (f[i][j] + f[i-1][j-x]) % MOD;
}
}
}
}
return f[n][target];
}
};优化
注意观察状态转移方程，f[i][j] 只会从 f[i-1, ...] 转移过来，因此只需要存储第 i 行和第 i-1 行的值，使用两个一维数组代替二维数组进行转态转移。
cpp
class Solution {
public:
int numRollsToTarget(int n, int k, int target) {
if (target < n || target > n * k) {
return 0;
}
const int MOD = 1e9 + 7;
vector<int> f(target + 1);
f[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
vector<int> g(target + 1);
for (int j = 0; j <= target; ++j) {
for (int x = 1; x <= k; ++x) {
if (j - x >= 0) {
g[j] = (g[j] + f[j-x]) % MOD;
}
}
}
f = g;
}
return f[target];
}
};复杂度分析
时间复杂度： O ( n ⋅ k ⋅ t a r g e t ) O(n \cdot k \cdot target) O(n⋅k⋅target)。
空间复杂度： O ( n ⋅ t r a g e t ) O(n \cdot traget) O(n⋅traget)，优化后的空间复杂度为 O ( t a r g e t ) O(target) O(target)。
写在最后
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