【每日一题】掷骰子等于目标和的方法数

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【动态规划】【数组】

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题目解读

你手里有 n 个一样的骰子，每个骰子都有 k 个面，分别标号 1 到 n。给定三个整数 n，k 和 target，返回这个 n 个骰子正面朝上的数字组成 target 的所有方案数。答案可能很大，返回对 1 e 9 + 7 1e9+7 1e9+7 取模后的值。

解题思路

方法一：动态规划

我们可以使用动态来解决本题。

状态

记 f[i][j] 表示使用 i 个骰子且数字和为 j 的方案数。

转移关系

我们可以枚举最后一个骰子的数字，数字的范围在 [1, k]，使用 i 个骰子组成的数字和为 j 的方案数为:

f $i , j$ = ∑ x = 1 k f $i - 1$ $j - k$ f\left $i,j \\right$ =\sum_{x=1}^k{f\left $i-1 \\right$ \left $j-k \\right$ } f $i,j$ =x=1∑kf $i-1$ $j-k$

base case

f[0][0] = 1，计即我们还没有掷骰子，数字之和为 0 时的方案数。

最终返回

最终返回 f[n][target]，表示使用 n 个骰子正面朝上的数字组成 target 的所有方案数

实现代码

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int numRollsToTarget(int n, int k, int target) {
        if (target < n || target > n * k) {
            return 0;
        }

        const int MOD = 1e9 + 7;
        vector<vector<int>> f(n+1, vector<int>(target+1));
        f[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 0; j <= target; ++j) {
                for (int x = 1; x <= k; ++x) {
                    if (j - x >= 0) {
                        f[i][j] = (f[i][j] + f[i-1][j-x]) % MOD;
                    }
                }
            }
        }
        return f[n][target];
    }
};

优化

注意观察状态转移方程，f[i][j] 只会从 f[i-1, ...] 转移过来，因此只需要存储第 i 行和第 i-1 行的值，使用两个一维数组代替二维数组进行转态转移。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int numRollsToTarget(int n, int k, int target) {
        if (target < n || target > n * k) {
            return 0;
        }

        const int MOD = 1e9 + 7;
        vector<int> f(target + 1);
        f[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            vector<int> g(target + 1);
            for (int j = 0; j <= target; ++j) {
                for (int x = 1; x <= k; ++x) {
                    if (j - x >= 0) {
                        g[j] = (g[j] + f[j-x]) % MOD;
                    }
                }
            }
            f = g;
        }
        return f[target];
    }
};

复杂度分析

时间复杂度： O ( n ⋅ k ⋅ t a r g e t ) O(n \cdot k \cdot target) O(n⋅k⋅target)。

空间复杂度： O ( n ⋅ t r a g e t ) O(n \cdot traget) O(n⋅traget)，优化后的空间复杂度为 O ( t a r g e t ) O(target) O(target)。

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