贪心算法总结（未完结）

贪心的定义（摘自百度百科）

贪心算法（greedy algorithm，又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，算法得到的是在某种意义上的局部最优解 。

贪心算法是以局部最优而达到全局最优，可以说贪心算法是短视的，每次只考虑当前状况下最好的选择。

贪心并没有通用的模板和算法思路，大多时候是靠刷题积累。

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区间问题

AcWing 905. 区间选点

思路分析：

1. 按照右端点从小到大将区间排序

2. 依次从前往后枚举每个区间：

1 > 若当前区间能覆盖所选点，无需操作

2 > 若当前区间不能覆盖所选点，就选择当前区间的右端点作为新选的点，

同时答案要加一

代码展示：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;
struct Edge
{
    int l, r;
    bool operator < (const Edge &W)const
    {
        return r < W.r;
    }
}edges[N];
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        edges[i] = {l, r};
    }
    sort(edges, edges + n);
    int res = 0, ed = -2e9;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        if (edges[i].l > ed)
        {
            res ++;
            ed = edges[i].r;
        }
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

AcWing 908. 最大不相交区间数量

代码展示：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;
struct Edge
{
    int l, r;
    bool operator <(const Edge &W)const
    {
        return r < W.r;
    }
}edges[N];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        edges[i] = {l, r};
    }
    
    sort(edges, edges + n);
    
    int res = 0, ed = -2e9;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        if (edges[i].l > ed)
        {
            res ++;
            ed = edges[i].r;
        }
    }
    
    cout << res << endl;
    return 0;
}

AcWing 906. 区间分组

思路分析：

1. 区间按照左端点从小到大排序

2. 用小根堆去存储每组的右端点的最大值

3. 从前往后处理每一个区间：

1 > 若当前区间的左端点小于堆顶，说明当前区间与前面所有组都存在交集，

那么就开一个新的组去存储当前区间

2 > 若当前区间的左端点大于堆顶，说明当前区间和堆顶无交集，

则可以将当前区间添加到堆顶所在组中，

即要更新该组在小根堆中存储的右端点数值

代码展示：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 100010;
//按照区间左端点大小排序
struct Range
{
    int l, r;
    bool operator <(const Range &W)const
    {
        return l < W.l;
    }
}edges[N];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        edges[i] = {l, r};
    }
    
    sort(edges, edges + n);
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;
    
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        //当前枚举的区间
        auto t = edges[i];
        //当堆中为空或者与堆顶元素有交集
        if (heap.empty() || heap.top() >= t.l) heap.push(t.r);
        else
        {
            heap.pop();
            heap.push(t.r);
        }
    }
    
    cout << heap.size() << endl;
    return 0;
}

AcWing 907. 区间覆盖

思路分析：

1. 区间按照左端点从小到大排序

2. 从前往后枚举每个区间（双指针算法）

每次选取能覆盖当前点st并且右端点最大的区间，然后更新st

代码展示：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;

struct Edge
{
    int l, r;
    bool operator <(const Edge &W)const
    {
        return l < W.l;
    }
}edges[N];

int main()
{
    int st, ed;
    cin >> st >> ed;
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        edges[i] = {l, r};
    }
    sort(edges, edges + n);
    
    int res = 0;
    bool flag = false;
    //找到能覆盖当前点的最靠右的区间，更新当前点
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int j = i, r = -2e9;
        while (j < n && st >= edges[j].l) 
        {
            r = max(r, edges[j].r);
            j ++;
        }
        
        if (r < st) 
        {
            res = -1;
            break;
        }
        res ++;
        if (r >= ed) 
        {
            flag = true;
            break;
        }
        
        st = r;
        i = j - 1;
    }
    
    if (!flag) res = -1;
    cout << res << endl;
    return 0;
}

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Huffman树

哈夫曼树定义（摘自百度百科）

给定N个权值作为N个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree)。哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近。

哈夫曼树的构造

每次选取最小的两个数作为两个权值相加的节点的子节点，在将该节点与未选取的值再重复操作

以一个样例来模拟这个过程：

AcWing 148. 合并果子

思路分析：

用小根堆来存储权值，然后构造以哈夫曼树的思路得出最终结果

代码展示：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while (n --)
    {
        int x;
        cin >> x;
        heap.push(x);
    }
    
    int res = 0;
    
    while (heap.size() > 1)
    {
        int a = heap.top();
        heap.pop();
        int b = heap.top();
        heap.pop();
        res += (a + b);
        heap.push(a + b);
    }
    
    cout << res << endl;
    return 0;
}

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排序不等式

AcWing 913. 排队打水

代码展示：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;
typedef long long LL;

int a[N];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
    
    sort(a, a + n);
    
    LL res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
        res += a[i] * (n - i - 1);
        
    cout << res << endl;
    return 0;
}

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绝对值不等式

公式：

| |a| - |b| | ≤ | a±b | ≤ |a| + |b|

AcWing 104. 货仓选址

代码展示：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;

int a[N];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
    
    sort(a, a + n);
    
    int res = 0;
    
    for (int i = 0; i < n; i ++)
        res += a[i] - a[i / 2];
 
    
    cout << res << endl;
    return 0;
}

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推公式

AcWing 125. 耍杂技的牛

代码展示：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;
typedef pair<int, int> PII;

PII cow[N];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int w, s;
        cin >> w >> s;
        cow[i] = {w + s, w};
    }
    
    sort(cow, cow + n);
    
    int res = -2e9, sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int w = cow[i].second, s = cow[i].first - w;
        res = max(res, sum - s);
        sum += w;
    }
    
    cout << res << endl;
    return 0;
}