【洛谷 P1990】覆盖墙壁 题解（动态规划）

覆盖墙壁

题目描述

你有一个长为 N N N 宽为 2 2 2 的墙壁，给你两种砖头：一个长 2 2 2 宽 1 1 1，另一个是 L 型覆盖 3 3 3 个单元的砖头。如下图：

0  0
0  00

砖头可以旋转，两种砖头可以无限制提供。你的任务是计算用这两种来覆盖 N × 2 N\times 2 N×2 的墙壁的覆盖方法。例如一个 2 × 3 2\times3 2×3 的墙可以有 5 5 5 种覆盖方法，如下：

012 002 011 001 011  
012 112 022 011 001

注意可以使用两种砖头混合起来覆盖，如 2 × 4 2\times4 2×4 的墙可以这样覆盖：

0112
0012

给定 N N N，要求计算 2 × N 2\times N 2×N 的墙壁的覆盖方法。由于结果很大，所以只要求输出最后 4 4 4 位。例如 2 × 13 2\times 13 2×13 的覆盖方法为 13465 13465 13465，只需输出 3465 3465 3465 即可。如果答案少于 4 4 4 位，就直接输出就可以，不用加前导 0 0 0，如 N = 3 N=3 N=3 时输出 5 5 5。

输入格式

一个整数 N N N，表示墙壁的长。

输出格式

输出覆盖方法的最后 4 4 4 位，如果不足 4 4 4 位就输出整个答案。

样例 #1

样例输入 #1

13

样例输出 #1

3465

提示

数据保证， 1 ≤ N ≤ 1000000 1\leq N\leq 1000000 1≤N≤1000000。

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思路

fi 表示铺满前 i 列的方法数。

gN 表示铺满前 i 列，第 i+1 列只铺一格的方法数。

作图法求状态转移方程。

对于fx

fi - 1

fi - 2

gi - 3

有两种情况。

对于gx

以 gi - 3 为例。

fi - 3

gi - 3

得

g[i - 2] = f[i - 3] + g[i - 3];

化简得

g[i] = f[i - 1] + g[i - 1];

状态转移方程：

f[i] = f[i - 1] + f[i - 2] + 2 * g[i - 2];
g[i] = f[i - 1] + g[i - 1];

用列举法不难得到初始情况下f1、f2、g1和g2的值。

使用 %10000 来保证结果只包含最后4位。

注意：每次计算动态转移方程后需要立即取模，否则WA。

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AC代码

#include <iostream>
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;

const int N = 1e7 + 5;
const int M = 10000;

// 铺满前i列
int f[N];
// 铺满前i列，第i+1列只铺一格
int g[N];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    f[1] = 1;
    f[2] = 2;
    g[1] = 1;
    g[2] = 2;
    for (int i = 3; i <= n; i++)
    {
        f[i] = (f[i - 1] + f[i - 2] + 2 * g[i - 2]) % M;
        g[i] = (f[i - 1] + g[i - 1]) % M;
    }
    cout << f[n] % M << endl;
    return 0;
}