考研数学放缩法和无穷项求和
放缩法专题
本文以例子为切入，对一些常用的放缩方法进行总结归纳，以期让读者对相关问题有一定的应对手段。
例子1
问题 ：2020年高数甲，选择题第1题。
lim n → + ∞ ( 2 n 2 + 4 n 2 + 1 + ⋯ + 2 n n 2 + n + 1 ) \lim_{n\to+\infty}\left( \frac{2}{n^2}+\frac{4}{n^2+1}+\cdots + \frac{2n}{n^2+n+1}\right) n→+∞lim(n22+n2+14+⋯+n2+n+12n)
解答 ：这个问题比较简单，只要注意到分母在 n → + ∞ n\to+\infty n→+∞的过程中， n 2 n^2 n2占主导项，那么就可以把分母统一起来，可以缩小到 n 2 n^2 n2，也可以放大到 n 2 + n + 1 n^2+n+1 n2+n+1。
分母统一后注意到 2 + 4 + ⋯ + 2 n = 2 × n ( n + 1 ) 2 2+4+\cdots + 2n=2\times\frac{n(n+1)}{2} 2+4+⋯+2n=2×2n(n+1)，那么极限就是分子和分母 n 2 n^2 n2项系数之比。
归纳总结：
- 放缩的项，尽量是不重要的项。
类似题目：
- 2017年高数甲，选择题第2题；2013年高数甲，选择题第2题。
例子2
问题：2019年高数甲，选择题第一题。
求极限：
lim n → ∞ [ ( 1 + 1 2 ! + 1 3 ! + ⋯ 1 n ! ) + ( 1 1 × 3 + 1 3 × 5 + ⋯ 1 ( 2 n − 1 ) × ( 2 n + 1 ) ) ] \lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots \frac{1}{n!}\right)+\left(\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{3\times 5}+\cdots \frac{1}{(2n-1)\times (2n+1)}\right)\right] n→∞lim[(1+2!1+3!1+⋯n!1)+(1×31+3×51+⋯(2n−1)×(2n+1)1)]
A. e − 1 2 e-\frac{1}{2} e−21
B. 5 2 \frac{5}{2} 25
C. e + 1 2 e+\frac{1}{2} e+21
D. 7 2 \frac{7}{2} 27
解答：这个问题作为选择题比较简单，要直接求极限则很复杂。
首先注意到，中括号中，两项极限肯定都存在。因为这两个求和项都比调和级数小，所以一定各自收敛。
那再看第二项 ( 1 1 × 3 + 1 3 × 5 + ⋯ 1 ( 2 n − 1 ) × ( 2 n + 1 ) ) \left(\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{3\times 5}+\cdots \frac{1}{(2n-1)\times (2n+1)}\right) (1×31+3×51+⋯(2n−1)×(2n+1)1)，这里很明显应该用裂项消除来做，只要注意到：
1 ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 1 ) = 1 2 ( 1 2 n − 1 − 1 2 n + 1 ) \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right) (2n−1)(2n+1)1=21(2n−11−2n+11)
那么，裂项就可以化成：
1 2 ( 1 − 1 3 + 1 3 − 1 5 + ⋯ − 1 2 n + 1 ) \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\cdots-\frac{1}{2n+1}\right) 21(1−31+31−51+⋯−2n+11)
很显然，此项的极限是 1 2 \frac{1}{2} 21。
再看第一项，乍一看这是一个很难的极限，但注意到选项中出现了 e e e，可以意识到它可能和两个重要极限 中的
lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n n→∞lim(1+n1)n
曾使用过此项：
lim n → ∞ ( 1 + 1 2 ! + 1 3 ! + ⋯ 1 n ! ) \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots \frac{1}{n!}\right) n→∞lim(1+2!1+3!1+⋯n!1)
这里回顾一下证明重要极限的过程就可以理解了，直接用二项式定理公式展开：
( 1 + 1 n ) n = 1 + ( n 1 ) 1 n + ( n 2 ) 1 n 2 + ⋯ + ( n n ) 1 n n = 1 + n 1 ! ⋅ 1 n + n ( n − 1 ) 2 ! ⋅ 1 n 2 + ⋯ + n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − n + 1 ) n ! ⋅ 1 n n = 1 + 1 + 1 2 ! ⋅ n ( n − 1 ) n 2 + ⋯ + 1 n ! ⋅ n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − n + 1 ) n n ≤ 1 + 1 + 1 2 ! + 1 3 ! + ⋯ 1 n ! \begin{aligned} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n&=1+{n\choose 1}\frac{1}{n}+{n\choose 2}\frac{1}{n^2}+\cdots +{n\choose n}\frac{1}{n^n} \\ &= 1+\frac{n}{1!}\cdot \frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\cdot \frac{1}{n^2}+\cdots+\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-n+1)}{n!}\cdot \frac{1}{n^n} \\ &=1+1+\frac{1}{2!}\cdot \frac{n(n-1)}{n^2}+\cdots+\frac{1}{n!}\cdot \frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-n+1)}{n^n} \\ &\le 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots \frac{1}{n!} \end{aligned} (1+n1)n=1+(1n)n1+(2n)n21+⋯+(nn)nn1=1+1!n⋅n1+2!n(n−1)⋅n21+⋯+n!n(n−1)(n−2)⋯(n−n+1)⋅nn1=1+1+2!1⋅n2n(n−1)+⋯+n!1⋅nnn(n−1)(n−2)⋯(n−n+1)≤1+1+2!1+3!1+⋯n!1
因此
lim n → ∞ ( 1 + 1 2 ! + 1 3 ! + ⋯ 1 n ! ) ≥ e − 1 \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots \frac{1}{n!}\right)\ge e-1 n→∞lim(1+2!1+3!1+⋯n!1)≥e−1
即使不记得此式，也应该记得重要极限的证明过程中，怎么确定上限的，那就是一个经典的放缩：
只需要注意到，函数的增长速度 2 n − 1 < n ! < n n 2^{n-1}<n!<n^n 2n−1<n!<nn，将阶乘放缩到 n n n^n nn是没用的，因为 ∑ n = 1 ∞ 1 n n \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^n} ∑n=1∞nn1求和仍然不好求，放缩到 2 n − 1 2^{n-1} 2n−1可以凑等比数列。可以得到：
lim n → ∞ ( 1 + 1 2 ! + 1 3 ! + ⋯ 1 n ! ) < lim n → ∞ ( 1 + 1 2 1 + 1 2 2 + ⋯ + 1 2 n − 1 ) = 2 \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots \frac{1}{n!}\right) < \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}\right)=2 n→∞lim(1+2!1+3!1+⋯n!1)<n→∞lim(1+211+221+⋯+2n−11)=2
即便 2 n 2^n 2n是能想象到的最接近 n ! n! n!的函数，但两者实际上差距仍然很大，所以这两个极限不相等，但这个不等关系已经可以排除出正确答案了。因为可以得到原式子一定小于 2 + 1 2 = 5 2 2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} 2+21=25，只有A选项符合这个大小。
归纳总结
- 放缩的原则，放缩前后尽量接近；
- 放缩后是为了方便求值，有时不必保证放缩前后极限相等，不等关系也可以选出正确答案；
- 要对一些书上经典的证明有所了解，很多考试的技巧都在书中经典证明中出现过。
例子3
问题 ：2015年第二大题，计算
lim n → ∞ 1 n ( 1 + sin π n + 1 + sin 2 π n + ⋯ + 1 + sin n π n ) \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\left(\sqrt{1+\sin{\frac{\pi}{n}}}+\sqrt{1+\sin{\frac{2\pi}{n}}}+\cdots + \sqrt{1+\sin{\frac{n\pi}{n}}}\right) n→∞limn1(1+sinnπ +1+sinn2π +⋯+1+sinnnπ )
解答 ：这个题目看上去也是无穷级数的累加，进行适当放缩。但实际上注意到 1 n \frac{1}{n} n1，应当把此极限化为定积分来计算。
归纳总结
- 有些无穷级数累加的极限，不要盲目用放缩法，能否化为定积分更容易判断。
例子4
问题 ：2004年第1大题，计算
lim n → ∞ sin 1 + sin 1 2 + ⋯ + sin 1 n n \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sin1+\sin\frac{1}{2}+\cdots +\sin\frac{1}{n}} n→∞limnsin1+sin21+⋯+sinn1
解答 ：首先检验是否可以定积分计算，定积分计算必然需要找出 d x = 1 n dx=\frac{1}{n} dx=n1和定义变量 x x x取值的 i n \frac{i}{n} ni，x是等间距变化才行，而本题目中虽然可以构造 1 / n 1/n 1/n，但 sin \sin sin内部的变化不是等间距的，因此不能用定积分。
然后检查是否可以裂项或使用三角函数等性质，制造连锁的反应，以直接求和出来，但不管和差化积、倍角公式还是乘 cos \cos cos函数都不能实现此效果。三角函数乘积时容易用性质来做一些操作，但这里没有办法化乘积。
最后考虑放缩，如果了解一个常用的结论（证明方法也很经典，可以用均值不等式）：
lim n → ∞ n n = 1 \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1 n→∞limnn =1
那么对放缩会有一个提前的意识：即便开 n n n次根号下是一个函数 n n n，增长率是线性的，开 n n n次方结果仍会收到 1 1 1。而根号下的求和实际上肯定不如 n n n的。因此基本可以断定，这个极限结果必然是 1 1 1，为验证此观点，放缩可以大胆点：
1 < sin 1 + sin 1 2 + ⋯ + sin 1 n < n 1<\sin1+\sin\frac{1}{2}+\cdots +\sin\frac{1}{n}<n 1<sin1+sin21+⋯+sinn1<n
因此：
lim n → ∞ 1 n < lim n → ∞ sin 1 + sin 1 2 + ⋯ + sin 1 n n < lim n → ∞ n n \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1}<\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sin1+\sin\frac{1}{2}+\cdots +\sin\frac{1}{n}}<\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} n→∞limn1 <n→∞limnsin1+sin21+⋯+sinn1 <n→∞limnn
总结：
- 要了解一些常用的极限，判断要计算的级数的增长数量级，对放缩有一定的预估。
- 有些操作如开 n n n次方 x n \sqrt[n]{x} nx ，本身会将很大范围内的函数收缩到 1 1 1，这时不妨放缩大胆点。
例子5
问题 ：2002年第一题，求解
lim n → ∞ cos 1 2 cos 1 4 ⋯ cos 1 2 n \lim_{n\to\infty}\cos\frac{1}{2}\cos\frac{1}{4}\cdots \cos\frac{1}{2^n} n→∞limcos21cos41⋯cos2n1
解答 ：看到三角函数，各个取值是2倍关系，应当立即想到倍角公式，这里只要乘以 sin 1 2 n \sin\frac{1}{2^n} sin2n1，即可知道如何做，当然别忘了额外乘了什么，就要除以什么。