【洛谷 P1024】[NOIP2001 提高组] 一元三次方程求解 题解（数学+二分答案）

NOIP2001 提高组 一元三次方程求解

题目描述

有形如： a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 a x^3 + b x^2 + c x + d = 0 ax3+bx2+cx+d=0 这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数（ a , b , c , d a,b,c,d a,b,c,d 均为实数），并约定该方程存在三个不同实根（根的范围在 − 100 -100 −100 至 100 100 100 之间），且根与根之差的绝对值 ≥ 1 \ge 1 ≥1。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后 2 2 2 位。

提示：记方程 f ( x ) = 0 f(x) = 0 f(x)=0，若存在 2 2 2 个数 x 1 x_1 x1 和 x 2 x_2 x2，且 x 1 < x 2 x_1 < x_2 x1<x2， f ( x 1 ) × f ( x 2 ) < 0 f(x_1) \times f(x_2) < 0 f(x1)×f(x2)<0，则在 ( x 1 , x 2 ) (x_1, x_2) (x1,x2) 之间一定有一个根。

输入格式

一行， 4 4 4 个实数 a , b , c , d a, b, c, d a,b,c,d。

输出格式

一行， 3 3 3 个实根，从小到大输出，并精确到小数点后 2 2 2 位。

样例 #1

样例输入 #1

1 -5 -4 20

样例输出 #1

-2.00 2.00 5.00

提示

【题目来源】

NOIP 2001 提高组第一题

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思路

由于根与根之差的绝对值 ≥ 1 \ge 1 ≥1，且根的范围在 − 100 -100 −100 至 100 100 100 之间，故从 -100 遍历到 100。

若 f(l) = 0 则 l 为方程的一个根，则直接输出 l 。

由零点存在性定理，若存在 2 2 2 个数 x 1 x_1 x1 和 x 2 x_2 x2，且 x 1 < x 2 x_1 < x_2 x1<x2， f ( x 1 ) × f ( x 2 ) < 0 f(x_1) \times f(x_2) < 0 f(x1)×f(x2)<0，则在 ( x 1 , x 2 ) (x_1, x_2) (x1,x2) 之间一定有一个根。

那么将左端点 l 设为 i，右端点 r 设为 i + 1，m 为 l 和 r 的中点。若零点在 l 和 m 之间，则将 r 设为 m，反之则 l 设为 m。用二分法不断逼近零点直到 l 和 r 的差值小于 0.001，输出 r 。

注意：当使用 r - l >= 0.01 作为判断条件，答案会有较大误差，导致WA。所以判断条件应为 r - l >= 0.001。

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AC代码

#include <iostream>
#include <cmath>
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;

double a, b, c, d;
double x1, x2, x3;

double f(double x)
{
    return a * pow(x, 3) + b * pow(x, 2) + c * pow(x, 1) + d;
}

int main()
{
    cin >> a >> b >> c >> d;

    for (int i = -100, cnt = 0; i < 100 && cnt < 3; i++)
    {
        double l, r;
        l = i;
        r = i + 1;
        if(!f(l)) {
            printf("%.2lf ", l);
            cnt++;
            continue;
        }
        if (f(l) * f(r) < 0)
        {
            while (r - l >= 0.001)
            {
                double m = (l + r) / 2;
                if (f(l) * f(m) < 0)
                {
                    r = m;
                } else {
                    l = m;
                }
            }
            printf("%.2lf ", r);
            cnt++;
        }
    }
}