AM@二阶非齐次线性微分方程@经典类型2的解

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• • abstract
  • 类型1
  • 类型2
  • 小结

abstract

• 二阶非齐次线性微分方程经典类型2的解

类型1

• 回顾类型1: y ′ ′ + p y ′ + q y y''+py'+qy y′′+py′+qy= e λ x P m ( x ) e^{\lambda{x}}P_{m}(x) eλxPm(x)

类型2

• 当 f ( x ) f(x) f(x)= e λ x ( P l ( x ) cos ⁡ ω x + P n ( x ) sin ⁡ ω x ) e^{\lambda{x}}(P_{l}(x)\cos{\omega}x+P_{n}(x)\sin{\omega{x}}) eλx(Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx)(0)时

  • 其中 λ , ω \lambda,\omega λ,ω都是常数, P l ( x ) , P n ( x ) P_{l}(x),P_{n}(x) Pl(x),Pn(x)分别是 x x x的 l l l次, n n n次多项式

  • 此时方程表示为 y ′ ′ + p y ′ + q y y''+py'+qy y′′+py′+qy= e λ x ( P l ( x ) cos ⁡ ω x + P n ( x ) sin ⁡ ω x ) e^{\lambda{x}}(P_{l}(x)\cos{\omega}x+P_{n}(x)\sin{\omega{x}}) eλx(Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx)(1)

  • 应用欧拉公式 ,可将三角函数表示为复指数函数的形式,

    • e i θ = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta} eiθ=cosθ+isinθ(2-1)
    • e − i θ e^{-i\theta} e−iθ= e i ( − θ ) e^{i(-\theta)} ei(−θ)= cos ⁡ ( − θ ) + i sin ⁡ ( − θ ) \cos{(-\theta)}+i\sin{(-\theta)} cos(−θ)+isin(−θ)= cos ⁡ θ − i sin ⁡ θ \cos{\theta}-i\sin{\theta} cosθ−isinθ(2-2)
    • 那么 cos ⁡ θ \cos\theta cosθ= 1 2 ( e i θ + e − i θ ) \frac{1}{2}(e^{i\theta}+e^{-i\theta}) 21(eiθ+e−iθ)(3-1); sin ⁡ θ = 1 2 i ( e i θ − e − i θ ) \sin\theta=\frac{1}{2i}(e^{i\theta}-e^{-i\theta}) sinθ=2i1(eiθ−e−iθ)(3-1)
    • 令 θ \theta θ= ω x \omega{x} ωx,得 cos ⁡ ω x \cos\omega{x} cosωx= 1 2 ( e i ω x + e − i ω x ) \frac{1}{2}(e^{i\omega{x}}+e^{-i\omega{x}}) 21(eiωx+e−iωx)(4-1); sin ⁡ ω x \sin\omega{x} sinωx= 1 2 i ( e i ω x − e − i ω x ) \frac{1}{2i}(e^{i\omega{x}}-e^{-i\omega{x}}) 2i1(eiωx−e−iωx)(4-2)

  • 将(4-1,4-2)代入到(0),得 f ( x ) f(x) f(x)= e λ x [ P l ( x ) 1 2 ( e i ω x + e − i ω x ) + P n ( x ) 1 2 i ( e i ω x − e − i ω x ) ] e^{\lambda{x}} [P_{l}(x)\frac{1}{2}(e^{i\omega{x}}+e^{-i\omega{x}})+P_n(x)\frac{1}{2i}(e^{i\omega{x}}-e^{-i\omega{x}})] eλx[Pl(x)21(eiωx+e−iωx)+Pn(x)2i1(eiωx−e−iωx)]

    • = ( P l ( x ) 2 + P n ( x ) 2 i ) e ( λ + i ω ) x (\frac{P_{l}(x)}{2}+\frac{P_{n}(x)}{2i}) e^{(\lambda+i\omega)x} (2Pl(x)+2iPn(x))e(λ+iω)x+ ( P l ( x ) 2 − P n ( x ) 2 i ) e ( λ − i ω ) x (\frac{P_{l}(x)}{2}-\frac{P_{n}(x)}{2i}) e^{(\lambda-i\omega)x} (2Pl(x)−2iPn(x))e(λ−iω)x(5)

    • 为简化形式,令 P ( x ) P(x) P(x)= P l ( x ) 2 + P n ( x ) 2 i \frac{P_{l}(x)}{2}+\frac{P_{n}(x)}{2i} 2Pl(x)+2iPn(x); P ‾ ( x ) \overline{P}(x) P(x)= P l ( x ) 2 − P n ( x ) 2 i \frac{P_{l}(x)}{2}-\frac{P_{n}(x)}{2i} 2Pl(x)−2iPn(x)

      • 由于 1 i \frac{1}{i} i1= i i 2 \frac{i}{i^2} i2i= − i -i −i(5),代入 P ( x ) , Q ( x ) P(x),Q(x) P(x),Q(x),分别得到 P ( x ) P(x) P(x)= P l ( x ) 2 − i P n ( x ) 2 \frac{P_{l}(x)}{2}-i\frac{P_{n}(x)}{2} 2Pl(x)−i2Pn(x)(6-1); P ‾ ( x ) \overline{P}(x) P(x)= P l ( x ) 2 + i P n ( x ) 2 \frac{P_{l}(x)}{2}+i\frac{P_{n}(x)}{2} 2Pl(x)+i2Pn(x)(6-2);
      • 显然 P ( x ) , P ‾ ( x ) P(x),\overline{P}(x) P(x),P(x)是系数共轭多项式,它们的次数显然相同,都为 m m m= max ⁡ {   l , n   } \max\set{l,n} max{l,n}(非齐次多项式的线性组合的次数为被组合多项式中次数最高的次数同次)

  • 从而式(5)改写为 f ( x ) f(x) f(x)= P ( x ) e ( λ + i ω ) x P(x) e^{(\lambda+i\omega)x} P(x)e(λ+iω)x+ P ‾ ( x ) e ( λ − i ω ) x \overline{P}(x) e^{(\lambda-i\omega)x} P(x)e(λ−iω)x(7),且方程(1)改写为 y ′ ′ + p y ′ + q y y''+py'+qy y′′+py′+qy= P ( x ) e ( λ + i ω ) x P(x) e^{(\lambda+i\omega)x} P(x)e(λ+iω)x+ P ‾ ( x ) e ( λ − i ω ) x \overline{P}(x) e^{(\lambda-i\omega)x} P(x)e(λ−iω)x(7-0)

    • 等号右边是经典类型一,即自由项为 e λ x P m ( x ) e^{\lambda{x}}P_{m}(x) eλxPm(x)型函数的组和;由该类型的结论,我们可以求出一个 m m m次复系数多项式 Q m ( x ) Q_m(x) Qm(x),使得 y 1 ∗ y_1^* y1∗= x k Q m ( x ) e ( λ + i ω ) x x^kQ_{m}(x)e^{(\lambda+i\omega)x} xkQm(x)e(λ+iω)x(7-1)是方程 y ′ ′ + p y ′ + q y y''+py'+qy y′′+py′+qy= P ( x ) e ( λ + i ω ) x P(x) e^{(\lambda+i\omega)x} P(x)e(λ+iω)x(8)的特解;其中 k k k按如下规则确定:若 λ + i ω \lambda+i\omega λ+iω是不是特征方程 r 2 + p r + q = 0 r^2+pr+q=0 r2+pr+q=0的根,则取0;若是单根,则取 1 1 1
      • 若 ω ≠ 0 \omega\neq{0} ω=0,则这里不会出现二重根的情况,二重根一定是实根 ,而 λ ± i ω \lambda\pm{i\omega} λ±iω不是实数,不会是二重根
      • 若 ω = 0 \omega=0 ω=0,则此类型问题转换为类型一
    • 由于 P ( x ) , P ‾ ( x ) P(x),\overline{P}(x) P(x),P(x)系数共轭多项式, P ( x ) P(x) P(x)是方程(8)的解,由共轭复数的性质, y 2 ∗ y_2^* y2∗= x k Q ‾ m ( x ) e ( λ − i ω ) x x^k\overline{Q}{m}(x)e^{(\lambda-i\omega)x} xkQm(x)e(λ−iω)x(8-1)为方程 x k Q m ( x ) e ( λ + i ω ) x x^kQ{m}(x)e^{(\lambda+i\omega)x} xkQm(x)e(λ+iω)x= P ‾ ( x ) e ( λ − i ω ) x \overline{P}(x) e^{(\lambda-i\omega)x} P(x)e(λ−iω)x(9)的解
      • 这里 Q m ( x ) , Q ‾ ( x ) Q_m(x),\overline{Q}(x) Qm(x),Q(x)是共轭的 m m m次多项式
    • 根据线性微分方程的解的叠加原理 , y ∗ y^* y∗= y 1 ∗ + y 2 ∗ y_1^*+y_2^* y1∗+y2∗= x k Q m ( x ) e ( λ + i ω ) x x^kQ_{m}(x)e^{(\lambda+i\omega)x} xkQm(x)e(λ+iω)x+ x k Q ‾ m ( x ) e ( λ − i ω ) x x^k\overline{Q}{m}(x)e^{(\lambda-i\omega)x} xkQm(x)e(λ−iω)x= x k e λ [ Q m ( x ) e i ω x + Q ‾ m ( x ) e − i ω x ] x^ke^{\lambda}[Q{m}(x)e^{i\omega{x}}+\overline{Q}_{m}(x)e^{-i\omega{x}}] xkeλ[Qm(x)eiωx+Qm(x)e−iωx](10)是方程(7-0)的特解
    • 式(10)再用欧拉公式 变换为三角函数形式,得 y ∗ y^* y∗= x k e λ [ Q m ( x ) ( cos ⁡ ω x + i sin ⁡ ω x ) + Q ‾ m ( x ) ( cos ⁡ ω x − i sin ⁡ ω x ) ] x^ke^{\lambda} [Q_{m}(x)(\cos{\omega{x}}+i\sin{\omega{x}})+\overline{Q}_{m}(x)(\cos{\omega{x}}-i\sin{\omega{x}})] xkeλ[Qm(x)(cosωx+isinωx)+Qm(x)(cosωx−isinωx)](11)
      • e i ω x e^{i\omega{x}} eiωx= cos ⁡ ω x + i sin ⁡ ω x \cos{\omega{x}}+i\sin{\omega{x}} cosωx+isinωx(11-1)
      • e − i ω x e^{-i\omega{x}} e−iωx= cos ⁡ ω x − i sin ⁡ ω x \cos{\omega{x}}-i\sin{\omega{x}} cosωx−isinωx(11-2)
      • Note:从上面两式可以看出 e i ω x e^{i\omega{x}} eiωx和 e − i ω x e^{-i\omega{x}} e−iωx是共轭复数,而 Q m ( x ) e i ω x Q_{m}(x)e^{i\omega{x}} Qm(x)eiωx和 Q ‾ m ( x ) e − i ω x \overline{Q}_{m}(x)e^{-i\omega{x}} Qm(x)e−iωx由共轭复数的乘法性质,也是共轭复数
    • 共轭复数之和会消去虚部,从而可将虚函数形式变为实函数的形式
      • 式(11)改写为: y ∗ y^* y∗= x k e λ ( R m ( x ) cos ⁡ ω x + S m ( x ) sin ⁡ ω x ) x^ke^{\lambda} (R_{m}(x)\cos{\omega{x}}+S_m(x)\sin\omega{x}) xkeλ(Rm(x)cosωx+Sm(x)sinωx)(12)
        • 其中 R m ( x ) R_{m}(x) Rm(x)= Q m ( x ) + Q ‾ m ( x ) Q_m(x)+\overline{Q}{m}(x) Qm(x)+Qm(x), S m ( x ) S{m}(x) Sm(x)= Q m ( x ) − Q ‾ m ( x ) Q_m(x)-\overline{Q}_{m}(x) Qm(x)−Qm(x)
        • R m ( x ) , S m ( x ) R_m(x),S_m(x) Rm(x),Sm(x)都是 m m m次多项式
      • 式(12)就是方程(1)的一个特解
    • 为了获得通解,再求方程(1)对应的齐次方程的通解 Y ( x ) Y(x) Y(x),则 y = Y ( x ) + y ∗ ( x ) y=Y(x)+y^*(x) y=Y(x)+y∗(x)为方程(1)的通解

小结

• 类型2中方程(1)的特解可以设为 y ∗ y^* y∗= x k e λ x [ R m ( x ) cos ⁡ ω x + S m ( x ) sin ⁡ ω x ] x^ke^{\lambda{x}}[R_{m}(x)\cos{\omega{x}}+S_{m}(x)\sin{\omega{x}}] xkeλx[Rm(x)cosωx+Sm(x)sinωx]
  • R m ( x ) , S m ( x ) R_m(x),S_m(x) Rm(x),Sm(x)都是 m = max ⁡ {   l , n   } m=\max\set{l,n} m=max{l,n}次多项式
  • 而 k k k分别按照 λ + i ω \lambda+i\omega λ+iω(或 λ − i ω \lambda-i\omega λ−iω):"不是特征方程的特征根",或是"特征方程的单根"取 0 0 0或 1 1 1