1.内容
（一）、Lorenz模型的状态方程表示为：
初值为
要求：
1.建立脚本，采用四阶五级的(Runge-Kutta-Felhberg, RKF)方法，调用ode45()方法求解该方程；
2.在Simulink下完成下列要求：
(1) 在Simulink下为上述方程组建立仿真模型，保存在st1.mdl中;
(2)仿真时间tout初值为0，终值根据实际情况而定，在图形窗口中设置4个子窗口，将x 1 (t), x 2 (t), x 3 *(t)*和相三维图分别绘在其中：
（a) 给该图形窗口增加标题"Lorenz模型的状态方程仿真图形"；
（b）给每个子窗口加坐标轴名称。
(3)将tout, x 1 (t), x 2 (t), x 3 *(t)*中的数据分别保存到变量t，x1，x2及x3中，将这四个变量保存到st1_data.mat数据文件中。
（二）、下面给出的微分代数方程表示为：
初始条件为x 10=0.8, x 20=x30=0.1
要求：
1.建立脚本，采用刚性方程求解算法ode15()函数求解该方程；
2.在Simulink下完成下列要求
（1）在Simulink下为上述一阶微分方程组建立仿真模型，保存在st1.mdl中;
（2）利用（1）中的仿真模型，在Simulink下调用ode15( )方法进行仿真求解x1(t), x2(t)和x3(t)，仿真时间tout初值为0，终值为20，在图形窗口中设置2×2四个子窗口，将x1(t)，x2(t)，x3(t)和x(t)(包含x1(t), x2(t)和x3(t)三个变量)，分别绘在四个子窗口中，并包括：
（a）给该图形窗口增加标题"微分代数方程仿真图形"；（b）给每个子窗口加坐标轴名称。
（3） 将tout，x1(t),，x2(t)和x3(t)中的数据分别保存到变量t，y1，y2和y3中，将这四个变量保存到st1_data.mat数据文件中。
（三）、子系统封装及仿真
（1）将图1中的PID Controller模型图在Simulink下封装成子系统；其中：
图１ PID Controller模型图
（2）将（1）中的子系统用在图２所示的仿真模型（保存到st2.mdl）中，在Simulink下调用ode45( )方法进行仿真求解单位阶跃响应y(t)（包括y(t)响应曲线和tout在0-20秒内的y(t)的值）。
图2 PID控制系统仿真图
Kp=11.520，Ti=0.658，Td=0.164，Step为单位阶跃函数。如果仿真输出超调量过大，希望调整以上参数以获取更好的动态性能。
2. 过程
（一）、Lorenz模型
- 建立脚本，采用四阶五级的(Runge-Kutta-Felhberg, RKF)方法，调用ode45()方法求解该方程；
脚本：
clear;
f=@(t,x)[-8*x(1)/3+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3)];
t=50;
x0=[0;0;1e-10];
[t,x]=ode45(f,[0,t],x0);
x1=x(:,1);
x2=x(:,2);
x3=x(:,3);
plot3(x1,x2,x3);%绘制相三维图
xlabel('x1(t)'),ylabel('x2(t)'),zlabel('x3(t)');
title('Lorenz模型的状态方程仿真图形');
运行图形：
图3 Lorenz模型三维仿真图
- Simulink仿真
Lorenz仿真模型：
图4 Lorenz仿真模型
设置相关属性：
形式改为数组形式
图5 修改为数组形式
调用ode45( )方法进行仿真求解x1(t), x2(t)和x3(t)，仿真时间tout初值为0，终值为50
图6 修改方法以及时间
设置初值为
图7 修改x1,x2,x3初始值
脚本实现绘图保存数据等功能：
t=tout;
x1=yout(:,1);
x2=yout(:,2);
x3=yout(:,3);
subplot(2,2,1);%设置2*2四个子窗口
plot(t,x1);%绘制x1(t)曲线
xlabel('时间t'),ylabel('x1(t)');%设置坐标轴
subplot(2,2,2);
plot(t,x2);%绘制x2(t)曲线
xlabel('时间t'),ylabel('x2(t)');
subplot(2,2,3);
plot(t,x3);%绘制x3(t)曲线
xlabel('时间t'),ylabel('x3(t)');
subplot(2,2,4);
plot3(x1,x2,x3);%绘制相三维图
xlabel('x1(t)'),ylabel('x2(t)'),zlabel('x3(t)');
suptitle('Lorenz模型的状态方程仿真图形');
save st1_data t x1 x2 x3;%保存
仿真图形
图8 Lorenz模型仿真图形
比较脚本和仿真的运行图形可以发现它们是有区别的
在脚本和仿真模型都运行过后，查看工作区：
图9 工作区
可以发现，脚本中运行后时间和结果长度都是2597，而仿真中tout和yout长度都是530，这导致所绘制的图形有所不同，经过查阅得知可能与ode45为变步长算法有关，自动根据连续状态变化速度，来改变步长，但是具体原因还未弄清。但是可以验证它们的趋势一致，由此可见，ode45脚本解方程与仿真解方程两种方式都是没有问题的。
保存的数据文件st1_data.mat
图10 保存的st1_data.mat文件
（二）微分方程
- 建立脚本，采用刚性方程求解算法ode15()函数求解该方程；
脚本：
clear;
f=@(t,x)[-0.2*x(1)+x(2)*x(3)+0.3*x(1)*x(2);2*x(1)*x(2)-5*x(2)*x(3)-2*x(2)*x(2);x(1)+x(2)+x(3)-1];
A=[1 0 0;0 1 0;0 0 0];
options=odeset;
options.Mass=A;
x0=[0.8;0.1;0.1];
[t,x]=ode15s(f,[0 20],x0,options);
ph=plot(t,x);
xlabel('时间t'),ylabel('x(t)');
legend([ph(1),ph(2),ph(3)],'x1(t)','x2(t)','x3(t)');
suptitle('微分代数方程仿真图形');
仿真图形：
图11 微分代数方程仿真图形
- Simulink仿真
微分代数方程仿真模型：
图12 微分代数方程仿真模型
设置相关属性：
形式改为数组形式
图13 修改输出形式
调用ode15( )方法进行仿真求解x1(t), x2(t)和x3(t)，仿真时间tout初值为0，终值为20
图14 修改调用方法以及时间
设置初值为
。
图15 修改初始值
脚本实现绘图保存数据等功能：
脚本：
t=tout;
x1=yout(:,1);
x2=yout(:,2);
x3=yout(:,3);
subplot(2,2,1);%设置2*2四个子窗口
plot(t,x1);%绘制x1(t)曲线
xlabel('时间t'),ylabel('x1(t)');%设置坐标轴
subplot(2,2,2);
plot(t,x2);%绘制x2(t)曲线
xlabel('时间t'),ylabel('x2(t)');
subplot(2,2,3);
plot(t,x3);%绘制x3(t)曲线
xlabel('时间t'),ylabel('x3(t)');
subplot(2,2,4);
ph=plot(t,yout);%绘制x(t)曲线
xlabel('时间t'),ylabel('x(t)');
legend([ph(1),ph(2),ph(3)],'x1(t)','x2(t)','x3(t)');
suptitle('微分代数方程仿真图形');
y1=x1;y2=x2;y3=x3;
save st1_data t y1 y2 y3;%保存
仿真图形
图16 微分代数方程仿真图形
可以看出与ode15脚本所绘制图形一致，表明两种解代数方程的方法均有效实现
保存的数据文件st1_data.mat
图17 保存的文件
（三）、子系统封装及仿真
（1）将图1中的PID Controller模型图在Simulink下封装成子系统
图18 子系统封装内部结构
图19 封装后
（2）将（1）中的子系统用在图２所示的仿真模型（保存到st2.mdl）中，在Simulink下调用ode45( )方法进行仿真求解单位阶跃响应y(t)（包括y(t)响应曲线和tout在0-20秒内的y(t)的值）。
G（s）值设置：
图20 设置G(s)值
仿真模型：
图21 仿真模型
鼠标右击simulink子系统mask如下图所示
图22 创建mask
设置相关参数的值：
图23 修改参数初始值
设置起始到终止时间0-20，调用ode45
图24 修改方法以及时间
此时示波器中仿真图形：
图25 Kp=11.52,Ti=0.658,Td=0.164
将Kp值减小为8，所的仿真图形：
图26 Kp=8,Ti=0.658,Td=0.164
超调量减小
继续将Kp值减小为4，所的仿真图型如下：
图27 Kp=4,Ti=0.658,Td=0.164
可以看出此时超调量几乎没有了，且曲线变得更加平缓
而若将Kp值升高为15：
图28 Kp=15,Ti=0.658,Td=0.164
超调量将会增大，且曲线上升的趋势更加陡峭
保持Kp值为15不变，此时如果我们将Ti值增加到1：
图29 Kp=11.52,Ti=1,Td=0.164
超调量明显减小，系统响应趋于稳态值的速度加快
此时继续升高Ti至1.5：
图30 Kp=11.52,Ti=1.5,Td=0.164
曲线无超调，初期曲线陡峭，然后快速平缓趋于稳态
将Ti减小至0.5：
图31 Kp=11.52,Ti=0.5,Td=0.164
曲线振荡，稳定性降低
此时，再将Td值增加至1：
图32 Kp=11.52,Ti=0.658,Td=1
曲线振荡减弱
而若将Td减少至0.5：
图33 Kp=11.52,Ti=0.658,Td=0.5
振荡幅度增加
3. 结果分析
通过上述过程分析可以发现，随着Kp的增大系统的响应速度越快，系统的调节精度越高，但是系统易产生超调，系统的稳定性变差，甚至会导致系统不稳定。Kp取值过小，调节精度降低，响应速度变慢，调节时间加长，使系统的动静态性能变坏。Ti可以消除系统的稳态误差。Ti越大系统的稳态误差消除的越快，但Ti如果过大，在响应过程的初期会产生积分饱和现象。若Ti过小，系统的稳态误差将难以消除，影响系统的调节精度，系统可能会更加不稳定，此时可以增加Td的值改善系统的动态性能，抑制响应过程中出现的振荡偏差，系统的抗干扰性能增强。