数学基础 -- 求解微分问题之乘法法则、商法则和链式求导法则

微分求解问题之乘法法则、商法则和链式求导法则

微分求解问题常用的三个基本法则是乘积法则、商法则和链式求导法则。下面是它们的公式和一些例子:

乘积法则

乘积法则用于求两个函数的乘积的导数。假设 u ( x ) u(x) u(x) 和 v ( x ) v(x) v(x) 是两个可微函数,则它们乘积的导数是:
( u ( x ) v ( x ) ) ′ = u ′ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ′ ( x ) (u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) (u(x)v(x))′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)

示例

设 u ( x ) = x 2 u(x) = x^2 u(x)=x2, v ( x ) = e x v(x) = e^x v(x)=ex,则
( x 2 e x ) ′ = ( x 2 ) ′ e x + x 2 ( e x ) ′ = 2 x e x + x 2 e x = x e x ( 2 + x ) (x^2 e^x)' = (x^2)' e^x + x^2 (e^x)' = 2x e^x + x^2 e^x = x e^x (2 + x) (x2ex)′=(x2)′ex+x2(ex)′=2xex+x2ex=xex(2+x)

商法则

商法则用于求两个函数的商的导数。假设 u ( x ) u(x) u(x) 和 v ( x ) v(x) v(x) 是两个可微函数,且 v ( x ) ≠ 0 v(x) \neq 0 v(x)=0,则它们商的导数是:
( u ( x ) v ( x ) ) ′ = u ′ ( x ) v ( x ) − u ( x ) v ′ ( x ) v ( x ) 2 \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} (v(x)u(x))′=v(x)2u′(x)v(x)−u(x)v′(x)

示例

设 u ( x ) = x 2 u(x) = x^2 u(x)=x2, v ( x ) = e x v(x) = e^x v(x)=ex,则
( x 2 e x ) ′ = ( x 2 ) ′ e x − x 2 ( e x ) ′ e 2 x = 2 x e x − x 2 e x e 2 x = e x ( 2 x − x 2 ) e 2 x = 2 x − x 2 e x \left( \frac{x^2}{e^x} \right)' = \frac{(x^2)' e^x - x^2 (e^x)'}{e^{2x}} = \frac{2x e^x - x^2 e^x}{e^{2x}} = \frac{e^x (2x - x^2)}{e^{2x}} = \frac{2x - x^2}{e^x} (exx2)′=e2x(x2)′ex−x2(ex)′=e2x2xex−x2ex=e2xex(2x−x2)=ex2x−x2

链式求导法则

链式求导法则用于求复合函数的导数。假设 y = f ( g ( x ) ) y = f(g(x)) y=f(g(x)),其中 f f f 和 g g g 都是可微函数,则
y ′ = f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) y′=f′(g(x))⋅g′(x)

示例

设 f ( x ) = sin ⁡ x f(x) = \sin x f(x)=sinx, g ( x ) = x 2 g(x) = x^2 g(x)=x2,则 y = sin ⁡ ( x 2 ) y = \sin(x^2) y=sin(x2),
y ′ = d d x sin ⁡ ( x 2 ) = cos ⁡ ( x 2 ) ⋅ d d x x 2 = cos ⁡ ( x 2 ) ⋅ 2 x = 2 x cos ⁡ ( x 2 ) y' = \frac{d}{dx} \sin(x^2) = \cos(x^2) \cdot \frac{d}{dx} x^2 = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2) y′=dxdsin(x2)=cos(x2)⋅dxdx2=cos(x2)⋅2x=2xcos(x2)

组合应用

设 h ( x ) = x 2 sin ⁡ x e x h(x) = \frac{x^2 \sin x}{e^x} h(x)=exx2sinx,使用以上法则求导:

  1. 先用商法则:
    h ( x ) = u ( x ) v ( x ) , u ( x ) = x 2 sin ⁡ x , v ( x ) = e x h(x) = \frac{u(x)}{v(x)}, \quad u(x) = x^2 \sin x, \quad v(x) = e^x h(x)=v(x)u(x),u(x)=x2sinx,v(x)=ex
    h ′ ( x ) = u ′ ( x ) v ( x ) − u ( x ) v ′ ( x ) v ( x ) 2 h'(x) = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{v(x)^2} h′(x)=v(x)2u′(x)v(x)−u(x)v′(x)

  2. 再用乘积法则求 u ( x ) u(x) u(x) 的导数:
    u ′ ( x ) = ( x 2 sin ⁡ x ) ′ = ( x 2 ) ′ sin ⁡ x + x 2 ( sin ⁡ x ) ′ = 2 x sin ⁡ x + x 2 cos ⁡ x u'(x) = (x^2 \sin x)' = (x^2)' \sin x + x^2 (\sin x)' = 2x \sin x + x^2 \cos x u′(x)=(x2sinx)′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx

  3. v ( x ) = e x v(x) = e^x v(x)=ex 的导数是:
    v ′ ( x ) = e x v'(x) = e^x v′(x)=ex

  4. 合并结果:
    h ′ ( x ) = ( 2 x sin ⁡ x + x 2 cos ⁡ x ) e x − x 2 sin ⁡ x ⋅ e x ( e x ) 2 = e x ( 2 x sin ⁡ x + x 2 cos ⁡ x − x 2 sin ⁡ x ) e 2 x = 2 x sin ⁡ x + x 2 cos ⁡ x − x 2 sin ⁡ x e x = x sin ⁡ x + x 2 cos ⁡ x e x h'(x) = \frac{(2x \sin x + x^2 \cos x)e^x - x^2 \sin x \cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x (2x \sin x + x^2 \cos x - x^2 \sin x)}{e^{2x}} = \frac{2x \sin x + x^2 \cos x - x^2 \sin x}{e^x} = \frac{x \sin x + x^2 \cos x}{e^x} h′(x)=(ex)2(2xsinx+x2cosx)ex−x2sinx⋅ex=e2xex(2xsinx+x2cosx−x2sinx)=ex2xsinx+x2cosx−x2sinx=exxsinx+x2cosx

这样,我们就利用乘积法则、商法则和链式求导法则对复合函数进行了求导。

相关推荐
qystca1 分钟前
洛谷 B3637 最长上升子序列 C语言 记忆化搜索->‘正序‘dp
c语言·开发语言·算法
薯条不要番茄酱2 分钟前
数据结构-8.Java. 七大排序算法(中篇)
java·开发语言·数据结构·后端·算法·排序算法·intellij-idea
今天吃饺子7 分钟前
2024年SCI一区最新改进优化算法——四参数自适应生长优化器,MATLAB代码免费获取...
开发语言·算法·matlab
是阿建吖!8 分钟前
【优选算法】二分查找
c++·算法
王燕龙(大卫)12 分钟前
leetcode 数组中第k个最大元素
算法·leetcode
不去幼儿园1 小时前
【MARL】深入理解多智能体近端策略优化(MAPPO)算法与调参
人工智能·python·算法·机器学习·强化学习
Mr_Xuhhh1 小时前
重生之我在学环境变量
linux·运维·服务器·前端·chrome·算法
盼海2 小时前
排序算法(五)--归并排序
数据结构·算法·排序算法
网易独家音乐人Mike Zhou6 小时前
【卡尔曼滤波】数据预测Prediction观测器的理论推导及应用 C语言、Python实现(Kalman Filter)
c语言·python·单片机·物联网·算法·嵌入式·iot
Swift社区9 小时前
LeetCode - #139 单词拆分
算法·leetcode·职场和发展