DAY40 343. 整数拆分 + 96. 不同的二叉搜索树

343. 整数拆分

题目要求:给定一个正整数 n,将其拆分为至少两个正整数的和,并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:

  • 输入: 2
  • 输出: 1
  • 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

  • 输入: 10
  • 输出: 36
  • 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
  • 说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

思路

dp[i],分拆数字i,表示拆分到当前位置能够得到的乘积最大值。两种方法,一种是j*(i-j),另一种是j*dp[i-j]。需要比较dp[i]和新乘积的关系。

cpp 复制代码
class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n+1);
        dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= i/2; ++j) {
                dp[i] = max(dp[i], max(j*(i-j), j*dp[i-j]));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

96. 不同的二叉搜索树

题目要求:给定一个整数 n,求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种?

思路

dp[i]表示整数i最多能生成的二叉树个数,二叉搜索树的条件是左<中<右。n为1的时候有1棵二叉搜索树,n=2的时候有两棵,这都是直观的。

而n=3的时候能够生成5棵二叉搜索树。

以1为头节点的时候,右子树有两个节点,布局和n=2时候的两种布局是一致的。以2为头节点的时候,左右子树的布局和n=1的时候是一致的。可以通过dp[1]和dp[2]推导出dp[3]的某种模式。

dp[3],就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量

元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量

元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量

元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。

有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。

有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。

所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]

dp[i] : 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]

递推公式为,在上面的分析中,其实已经看出其递推关系, dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以i-j为头结点右子树节点数量]

j相当于是头结点的元素,从1遍历到i为止。

所以递推公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ,j-1 为j为头结点左子树节点数量,i-j 为以j为头结点右子树节点数量,dp[0]需要被初始化为1,尽管没有0个节点的二叉搜索树。

cpp 复制代码
class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n+1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= i; ++j) {
                dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};
  • 时间复杂度:O(n\^2)
  • 空间复杂度:O(n)

总结

两个题目都是经典的递归题目,思路远大于代码复杂度的类型。需要通过举例推导递推关系式,通过小样本找规律得到递推关系。再通过调试和模拟找到初始化dp数组的值。

相关推荐
CoovallyAIHub8 小时前
港大&字节重磅发布DanceGRPO:突破视觉生成RLHF瓶颈,多项任务性能提升超180%!
深度学习·算法·计算机视觉
CoovallyAIHub9 小时前
英伟达ViPE重磅发布!解决3D感知难题,SLAM+深度学习完美融合(附带数据集下载地址)
深度学习·算法·计算机视觉
聚客AI1 天前
🙋‍♀️Transformer训练与推理全流程:从输入处理到输出生成
人工智能·算法·llm
大怪v1 天前
前端:人工智能?我也会啊!来个花活,😎😎😎“自动驾驶”整起!
前端·javascript·算法
惯导马工1 天前
【论文导读】ORB-SLAM3:An Accurate Open-Source Library for Visual, Visual-Inertial and
深度学习·算法
骑自行车的码农1 天前
【React用到的一些算法】游标和栈
算法·react.js
博笙困了1 天前
AcWing学习——双指针算法
c++·算法
moonlifesudo1 天前
322:零钱兑换(三种方法)
算法
NAGNIP2 天前
大模型框架性能优化策略:延迟、吞吐量与成本权衡
算法
美团技术团队2 天前
LongCat-Flash:如何使用 SGLang 部署美团 Agentic 模型
人工智能·算法