【数据结构】栈的应用：表达式求值（后缀表达式）

考点频率 ：★★★★★（栈的核心应用，选择题必考，下午题偶尔结合考查）

难度 ：⭐⭐⭐⭐

建议：重点掌握中缀转后缀的规则、后缀表达式的手工计算方法，这是下午题的隐性考点

1️⃣ 为什么需要后缀表达式？

你平时写的算式是 (3 + 4) × 5 - 6，这叫中缀表达式------运算符在操作数中间。人看得很舒服，但计算机处理起来很麻烦，因为要考虑括号和运算符优先级。

为了让计算机更方便计算，人们设计了两种替代格式：

• 后缀表达式（逆波兰表达式） ：运算符在操作数后面 。例如 3 4 + 5 × 6 -
• 前缀表达式（波兰表达式） ：运算符在操作数前面 。例如 - × + 3 4 5 6

后缀表达式的最大优点 ：不需要括号，不需要考虑优先级，按顺序扫描即可计算。

2️⃣ 中缀表达式 → 后缀表达式（手工转换方法）

2.1 方法一：加括号法（适合手工计算）

操作步骤：

1. 按运算符优先级给表达式加括号（每个运算符对应一对括号）
2. 将每个运算符移到它对应的右括号后面
3. 去掉所有括号

示例 ：将 (3 + 4) × 5 - 6 转为后缀表达式

第1步：加括号
((3 + 4) × 5) - 6
  ↓ 每个运算符对应一对括号：
((3 + 4) × 5) - 6  →  (((3 + 4) × 5) - 6)
  最内层：3 + 4 → (3 4 +)
  再外层：× 5 → ((3 4 +) 5 ×)
  最外层：- 6 → (((3 4 +) 5 ×) 6 -)

第2步：去掉括号 → 3 4 + 5 × 6 -

2.2 方法二：符号栈法（理解计算机是怎么做的）

中缀转后缀（计算机实现）：遍历中缀表达式的每个 token（操作数或运算符），按规则处理：

1. 操作数：直接输出到后缀表达式
2. 左括号 (：直接入栈
3. 右括号 )：不断弹出栈顶运算符并输出，直到遇到左括号（左括号弹出但不输出）
4. 运算符：当栈顶运算符的优先级 ≥ 当前运算符优先级时，弹出并输出栈顶，然后将当前运算符入栈

示例 ：3 + 4 × 5 - 6

步骤	符号	输出（后缀）	运算符栈	说明
1	3	3		操作数直接输出
2	+	3	+	栈空，直接入栈
3	4	3 4	+	操作数直接输出
4	×	3 4	+ ×	栈顶 + 优先级低于 ×，直接入栈
5	5	3 4 5	+ ×	操作数直接输出
6	-	3 4 5 ×	+	× 优先级 ≥ -，弹出 ×；+ 优先级 ≥ -，弹出 +；然后 - 入栈
7	6	3 4 5 × 6	-	操作数直接输出
8	结束	3 4 5 × 6 -		弹出栈中剩余运算符

结果 ：3 4 5 × 6 -

3️⃣ 后缀表达式的计算

计算规则：

1. 从左到右扫描后缀表达式
2. 遇到操作数，入栈
3. 遇到运算符，弹出栈顶的两个操作数，计算结果后入栈
4. 扫描结束后，栈顶就是最终结果

示例 ：计算 3 4 5 × 6 -

步骤	扫描到	操作	栈
1	3	入栈	[3]
2	4	入栈	[3, 4]
3	5	入栈	[3, 4, 5]
4	×	弹出 4 和 5 → 4×5=20 → 入栈	[3, 20]
5	6	入栈	[3, 20, 6]
6	-	弹出 20 和 6 → 20-6=14 → 入栈	[3, 14]
7	结束	弹出栈顶	14

结果 ：14（与原中缀表达式 (3+4)×5-6=35-6=29 不一致？等等，这里有问题！）

⚠️ 发现错误 ：上面的计算结果是 14，但原式 (3+4)×5-6 应该等于 29。

原因 ：我把运算符优先级搞反了。3 + 4 × 5 - 6 正确的后缀是 3 4 5 × + 6 -，而不是 3 4 5 × 6 -。

修正后的计算：

步骤	扫描到	栈
1	3	[3]
2	4	[3, 4]
3	5	[3, 4, 5]
4	×	[3, 20]
5	+	[23]
6	6	[23, 6]
7	-	[17]

结果 17 仍然不对？等等，原式 3+4×5-6 按乘除优先是 3+20-6=17，正确！我本来想写的是 (3+4)×5-6，但写成 3+4×5-6 了。

所以：(3+4)×5-6 对应的后缀是 3 4 + 5 × 6 -，计算如下：

步骤	栈
3	[3]
4	[3, 4]
+	[7]
5	[7, 5]
×	[35]
6	[35, 6]
-	[29]

结果：29 ✅

4️⃣ 中缀 → 后缀 → 求值（完整例题）

题目 ：计算中缀表达式 8 + (3 - 1) × 2

第1步：中缀 → 后缀

• 加括号法：8 + ((3 - 1) × 2) → (8 ((3 1 -) 2 ×) +) → 去掉括号：8 3 1 - 2 × +

第2步：计算后缀 8 3 1 - 2 × +

步骤	扫描到	栈
1	8	[8]
2	3	[8, 3]
3	1	[8, 3, 1]
4	-	[8, 2]
5	2	[8, 2, 2]
6	×	[8, 4]
7	+	[12]

结果：12 ✅

5️⃣ 运算符优先级速查

运算符	优先级
( )	最高（用于改变运算顺序）
× /	高
+ -	低

6️⃣ 经典例题

例题1 （中缀转后缀）：中缀表达式 a + b * c - d / e 对应的后缀表达式是（　）。

A. a b c * + d e / -

B. a b c * d e / - +

C. a b * c + d e / -

D. a b c * + d e - /

解析 ：a + b × c - d / e → a (b c ×) + (d e /) - → a b c × + d e / -。选 A。

---

例题2 （后缀求值）：后缀表达式 5 1 2 + 4 × + 3 - 的值为（　）。

解析：

步骤	栈
5	[5]
1	[5, 1]
2	[5, 1, 2]
+	[5, 3]
4	[5, 3, 4]
×	[5, 12]
+	[17]
3	[17, 3]
-	[14]

答案：14

7️⃣ 记忆口诀

中缀转后缀，操作数直接写。

左括号入栈，右括号弹到底。

运算符看栈顶，同级高先弹。

后缀求值用栈，数字入栈运算符弹两数。

8️⃣ 小测验（评论区对答案）

中缀表达式 (a + b) * (c - d) 对应的后缀表达式是（　）。

A. a b + c d - *

B. a b c d + - *

C. a b + c - d *

D. a b c + d - *

答案下期公布。

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