卡尔曼滤波之二：Python实现

1.背景描述
2.构建卡尔曼滤波公式
- [2.1 预测](#2.1 预测)
- [2.2 更新](#2.2 更新)
3.代码实现
[3.1 输入值](#3.1 输入值)
- [3.2 pykalman包实现](#3.2 pykalman包实现)
- [3.3 不使用Python包实现](#3.3 不使用Python包实现)
- [3.4 效果可视化](#3.4 效果可视化)
参考文献

了解了卡尔曼滤波之一：基本概念，可以结合代码来理解下卡尔曼滤波的2个预测+3个更新环节。

1.背景描述

设有一个球在30m的起始高度，以10m/s的速度竖直上抛，用传感器来跟踪球的高度。

对应于卡尔曼滤波，此系统的状态包括位置 h h h及速度 v v v。

球的高度满足式子：

x t = x t − 1 + v t − 1 τ − 1 2 g τ 2 \qquad x_t = x_{t-1} + v_{t-1}\tau - \frac{1}{2} g \tau^2 xt=xt−1+vt−1τ−21gτ2

速度满足：
v t = v t − 1 − g τ \qquad v_t = v_{t-1} - g \tau vt=vt−1−gτ

其中， τ \tau τ 为 t − 1 t-1 t−1 与 t t t之间的时间(s)， g g g 为重力加速度。

传感器检测高度，存在的位置协方差约为3m。

2.构建卡尔曼滤波公式

2.1 预测

状态值预测

x ^ t − = F ⋅ x ^ t − 1 + B ⋅ u t − 1 ① \qquad\qquad\quad \hat x_t^-=F\cdot\hat x_{t-1} + B\cdot u_{t-1}\qquad\qquad \qquad\qquad \qquad\qquad \quad\ \ \ ① x^t−=F⋅x^t−1+B⋅ut−1 ①

[ h t − v t − ] = [ 1 τ 0 1 ] [ h t − 1 v t − 1 ] + [ − 1 2 τ 2 − τ ] ⋅ g \qquad\qquad\begin{bmatrix} h_t^-\\v_t^-\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1& \tau \\0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} h_{t-1}\\v_{t-1}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} - \frac{1}{2} \tau^2\\- \tau\end{bmatrix}\cdot g [ht−vt−]=[10τ1][ht−1vt−1]+[−21τ2−τ]⋅g

状态协方差预测

P t − = F ⋅ P t − 1 ⋅ F T + Q ② \qquad\qquad \quad P_{t}^{-}=F\cdot P_{t-1}\cdot F^{T}+Q\qquad\qquad \qquad\qquad \qquad\qquad \qquad ② Pt−=F⋅Pt−1⋅FT+Q②

\qquad 状态协方差预测值的初始值 P 0 − P_{0}^{-} P0−为 [ 1 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1& 0 \\0 & 1 \end{bmatrix} [1001]，过程噪声的协方差 Q Q Q 取 [ 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 0& 0 \\0 & 0 \end{bmatrix} [0000]。

2.2 更新

更新卡尔曼增益 K t K_{t} Kt：

K t = P t − ⋅ H T H ⋅ P t − ⋅ H T + R ③ \qquad\qquad K_{t}=\cfrac {P_{t}^{-} \cdot H^{T}}{H\cdot P_{t}^{-} \cdot H^{T}+R}\qquad\qquad \qquad\qquad \qquad\qquad \qquad\ ③ Kt=H⋅Pt−⋅HT+RPt−⋅HT ③

\qquad 观测矩阵 H H H 这里为 [ 1 0 ] \begin{bmatrix} 1& 0 \end{bmatrix} [10]， R R R 为 3.

融合状态估计值 x ^ t − \hat x_{t}^{-} x^t−以及观测量 Z t Z_t Zt，更新状态值 x ^ t \hat x_{t} x^t：

x ^ t = x ^ t − + K t ( Z t − H ⋅ x ^ t − ) ④ \qquad\qquad \hat x_{t}=\hat x_{t}^{-}+K_t(Z_t-H\cdot \hat x_{t}^{-})\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad \qquad\ ④ x^t=x^t−+Kt(Zt−H⋅x^t−) ④

更新状态协方差 P t P_{t} Pt：

P t = ( 1 − K t ⋅ H ) P t − ⑤ \qquad\qquad P_{t}=(1-K_t\cdot H) P_{t}^{-}\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad \qquad \qquad\ \ \ \ ⑤ Pt=(1−Kt⋅H)Pt− ⑤

3.代码实现

3.1 输入值

python 复制代码

import numpy as np
times = 40
tau = 0.1
actual = -4.9*tau**2*np.arange(times)**2
# Simulate the noisy camera data
sim = actual + 3*np.random.randn(times)

# kalman filter parameters
initial_state = np.array([[30],[10]])  
initial_current_state_covariance =np.eye(2) 
Q = np.zeros((2,2)) # process_noise_covariance
R = 3 # observation_covariance
F=np.array([[1,tau],[0,1]])
B=np.array([[-0.5*tau**2],[-tau]])
U=g=9.8
H=np.array([[1,0]])

3.2 pykalman包实现

python 复制代码

from pykalman import KalmanFilter
# Set up the filter
kf = KalmanFilter(n_dim_obs=1, n_dim_state=2,
                  initial_state_mean=initial_state.reshape(-1) ,
                  initial_state_covariance=initial_current_state_covariance ,
                  transition_matrices=F,
                  observation_matrices=H,
                  observation_covariance=R,
                  transition_covariance=Q,
                  transition_offsets=[-4.9*tau**2, -9.8*tau])

state_means, state_covs = kf.filter(sim)

注意，pykalman包中使用transition_offsets来替代 B ⋅ u t − 1 B\cdot u_{t-1} B⋅ut−1部分。

3.3 不使用Python包实现

python 复制代码

current_state_covariance=None
current_state_mean=None
time=0
estimated_signal = []
for measurement in sim:
    # predict
    if time==0:
        # initialize 
        predicted_state_means=initial_state
        predicted_state_covariances=initial_current_state_covariance
    else:
        predicted_state_means = F @ current_state_mean+ B*U
        predicted_state_covariances = F @current_state_covariance @F.T + Q

    # update
    kalman_gain = predicted_state_covariances @ H.T @ np.linalg.pinv(H@predicted_state_covariances@H.T + R)
    current_state_mean = predicted_state_means  + kalman_gain * (measurement - H @ predicted_state_means)
    current_state_covariance = predicted_state_covariances - kalman_gain @ H @ predicted_state_covariances

    estimated_signal.append(current_state_mean[0,0])
    time + =1

3.4 效果可视化

python 复制代码

import matplotlib
matplotlib.use("TkAgg")
import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(range(times), sim, label="Noisy Signal")
plt.plot(range(times), state_means[:,0], label="Kalman Signal1")

plt.plot(range(times), estimated_signal, label="Estimated Signal (Kalman Filter)")
plt.legend()
plt.title("Signal Denoising with Kalman Filter")
plt.show(block=True)

两种方法曲线重合在一起，说明Python实现没有问题。

注意：这里的两种实现都默认t=0时只赋初值，不进行预测。

信号去噪之卡尔曼滤波代码实现中，t=0时也进行了预测。

长期来看，效果差不多，

从图上可以看出，滤波信号与有噪声信号相比，非常平滑，同时也有很好的跟踪效果。

参考文献

[1] 信号去噪之卡尔曼滤波

[2] 卡尔曼滤波：再也不用瑟瑟发抖了

[3] https://github.com/quantopian/research_public/blob/master/notebooks/lectures/Kalman_Filters/notebook.ipynb

[4] https://github.com/pykalman/pykalman/tree/master

[5] https://pykalman.github.io/#choosing-parameters

[6] Kalman Filter and Maximum Likelihood Estimation of Linearized DSGE Models

[7] 卡尔曼滤波之一：基本概念