卡尔曼滤波之二：Python实现
- 1.背景描述
- 2.构建卡尔曼滤波公式
-
- [2.1 预测](#2.1 预测)
- [2.2 更新](#2.2 更新)
- 3.代码实现
- [3.1 输入值](#3.1 输入值)
-
- [3.2 pykalman包实现](#3.2 pykalman包实现)
- [3.3 不使用Python包实现](#3.3 不使用Python包实现)
- [3.4 效果可视化](#3.4 效果可视化)
- 参考文献
了解了卡尔曼滤波之一：基本概念，可以结合代码来理解下卡尔曼滤波的2个预测+3个更新环节。
1.背景描述
设有一个球在30m的起始高度，以10m/s的速度竖直上抛，用传感器来跟踪球的高度。
对应于卡尔曼滤波，此系统的状态包括位置 h h h及速度 v v v。
球的高度满足式子：
x t = x t − 1 + v t − 1 τ − 1 2 g τ 2 \qquad x_t = x_{t-1} + v_{t-1}\tau - \frac{1}{2} g \tau^2 xt=xt−1+vt−1τ−21gτ2
速度满足：
v t = v t − 1 − g τ \qquad v_t = v_{t-1} - g \tau vt=vt−1−gτ
其中， τ \tau τ 为 t − 1 t-1 t−1 与 t t t之间的时间(s)， g g g 为重力加速度。
传感器检测高度，存在的位置协方差约为3m。
2.构建卡尔曼滤波公式
2.1 预测
- 状态值预测
x ^ t − = F ⋅ x ^ t − 1 + B ⋅ u t − 1 ① \qquad\qquad\quad \hat x_t^-=F\cdot\hat x_{t-1} + B\cdot u_{t-1}\qquad\qquad \qquad\qquad \qquad\qquad \quad\ \ \ ① x^t−=F⋅x^t−1+B⋅ut−1 ①
h t − v t − \] = \[ 1 τ 0 1 \] \[ h t − 1 v t − 1 \] + \[ − 1 2 τ 2 − τ \] ⋅ g \\qquad\\qquad\\begin{bmatrix} h_t\^-\\\\v_t\^-\\end{bmatrix} =\\begin{bmatrix} 1\& \\tau \\\\0 \& 1 \\end{bmatrix}\\begin{bmatrix} h_{t-1}\\\\v_{t-1}\\end{bmatrix}+\\begin{bmatrix} - \\frac{1}{2} \\tau\^2\\\\- \\tau\\end{bmatrix}\\cdot g \[ht−vt−\]=\[10τ1\]\[ht−1vt−1\]+\[−21τ2−τ\]⋅g
* 状态协方差预测
P t − = F ⋅ P t − 1 ⋅ F T + Q ② \\qquad\\qquad \\quad P_{t}\^{-}=F\\cdot P_{t-1}\\cdot F\^{T}+Q\\qquad\\qquad \\qquad\\qquad \\qquad\\qquad \\qquad ② Pt−=F⋅Pt−1⋅FT+Q②
\\qquad 状态协方差预测值的初始值 P 0 − P_{0}\^{-} P0−为 \[ 1 0 0 1 \] \\begin{bmatrix} 1\& 0 \\\\0 \& 1 \\end{bmatrix} \[1001\]，过程噪声的协方差 Q Q Q 取 \[ 0 0 0 0 \] \\begin{bmatrix} 0\& 0 \\\\0 \& 0 \\end{bmatrix} \[0000\]。
### 2.2 更新
* 更新卡尔曼增益 K t K_{t} Kt：
K t = P t − ⋅ H T H ⋅ P t − ⋅ H T + R ③ \\qquad\\qquad K_{t}=\\cfrac {P_{t}\^{-} \\cdot H\^{T}}{H\\cdot P_{t}\^{-} \\cdot H\^{T}+R}\\qquad\\qquad \\qquad\\qquad \\qquad\\qquad \\qquad\\ ③ Kt=H⋅Pt−⋅HT+RPt−⋅HT ③
\\qquad 观测矩阵 H H H 这里为 \[ 1 0 \] \\begin{bmatrix} 1\& 0 \\end{bmatrix} \[10\]， R R R 为 3.
* 融合状态估计值 x \^ t − \\hat x_{t}\^{-} x\^t−以及观测量 Z t Z_t Zt，更新状态值 x \^ t \\hat x_{t} x\^t：
x \^ t = x \^ t − + K t ( Z t − H ⋅ x \^ t − ) ④ \\qquad\\qquad \\hat x_{t}=\\hat x_{t}\^{-}+K_t(Z_t-H\\cdot \\hat x_{t}\^{-})\\qquad\\qquad \\qquad\\qquad\\qquad \\qquad\\ ④ x\^t=x\^t−+Kt(Zt−H⋅x\^t−) ④
* 更新状态协方差 P t P_{t} Pt：
P t = ( 1 − K t ⋅ H ) P t − ⑤ \\qquad\\qquad P_{t}=(1-K_t\\cdot H) P_{t}\^{-}\\qquad\\qquad \\qquad\\qquad\\qquad \\qquad \\qquad\\ \\ \\ \\ ⑤ Pt=(1−Kt⋅H)Pt− ⑤
## 3.代码实现
## 3.1 输入值
```python
import numpy as np
times = 40
tau = 0.1
actual = -4.9*tau**2*np.arange(times)**2
# Simulate the noisy camera data
sim = actual + 3*np.random.randn(times)
# kalman filter parameters
initial_state = np.array([[30],[10]])
initial_current_state_covariance =np.eye(2)
Q = np.zeros((2,2)) # process_noise_covariance
R = 3 # observation_covariance
F=np.array([[1,tau],[0,1]])
B=np.array([[-0.5*tau**2],[-tau]])
U=g=9.8
H=np.array([[1,0]])
```
### 3.2 pykalman包实现
```python
from pykalman import KalmanFilter
# Set up the filter
kf = KalmanFilter(n_dim_obs=1, n_dim_state=2,
initial_state_mean=initial_state.reshape(-1) ,
initial_state_covariance=initial_current_state_covariance ,
transition_matrices=F,
observation_matrices=H,
observation_covariance=R,
transition_covariance=Q,
transition_offsets=[-4.9*tau**2, -9.8*tau])
state_means, state_covs = kf.filter(sim)
```
注意，`pykalman`包中使用`transition_offsets`来替代 B ⋅ u t − 1 B\\cdot u_{t-1} B⋅ut−1部分。
### 3.3 不使用Python包实现
```python
current_state_covariance=None
current_state_mean=None
time=0
estimated_signal = []
for measurement in sim:
# predict
if time==0:
# initialize
predicted_state_means=initial_state
predicted_state_covariances=initial_current_state_covariance
else:
predicted_state_means = F @ current_state_mean+ B*U
predicted_state_covariances = F @current_state_covariance @F.T + Q
# update
kalman_gain = predicted_state_covariances @ H.T @ np.linalg.pinv(H@[email protected] + R)
current_state_mean = predicted_state_means + kalman_gain * (measurement - H @ predicted_state_means)
current_state_covariance = predicted_state_covariances - kalman_gain @ H @ predicted_state_covariances
estimated_signal.append(current_state_mean[0,0])
time + =1
```
### 3.4 效果可视化
```python
import matplotlib
matplotlib.use("TkAgg")
import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(range(times), sim, label="Noisy Signal")
plt.plot(range(times), state_means[:,0], label="Kalman Signal1")
plt.plot(range(times), estimated_signal, label="Estimated Signal (Kalman Filter)")
plt.legend()
plt.title("Signal Denoising with Kalman Filter")
plt.show(block=True)
```
两种方法曲线重合在一起，说明Python实现没有问题。
注意：这里的两种实现都默认`t=0`时只赋初值，不进行预测。
[信号去噪之卡尔曼滤波](https://mp.weixin.qq.com/s/QKV9hPNCYDVKC1oE6jg6pA)代码实现中，`t=0`时也进行了预测。
长期来看，效果差不多，
从图上可以看出，滤波信号与有噪声信号相比，非常平滑，同时也有很好的跟踪效果。
## 参考文献
\[1\] [信号去噪之卡尔曼滤波](https://mp.weixin.qq.com/s/QKV9hPNCYDVKC1oE6jg6pA)
\[2\] [卡尔曼滤波：再也不用瑟瑟发抖了](https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzU5NTg2MzIxMw==&mid=2247500991&idx=1&sn=0ccc29c905d4f97326d45494977c312d&chksm=fe69f77dc91e7e6b90dfba22d9cf531ef5843f3f113e1296ed89d4d48e8209e5809aad167dae&scene=132&exptype=timeline_recommend_article_extendread_extendread_for_notrec#wechat_redirect)
\[3\]