最优贸易
题目描述
C C C 国有 n n n 个大城市和 m m m 条道路,每条道路连接这 n n n 个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这 m m m 条道路中有一部分为单向通行的道路,一部分为双向通行的道路,双向通行的道路在统计条数时也计为 1 1 1 条。
C C C 国幅员辽阔,各地的资源分布情况各不相同,这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是,同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。
商人阿龙来到 C C C 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后,便决定在旅游的同时,利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 C C C 国 n n n 个城市的标号从 1 ∼ n 1\sim n 1∼n,阿龙决定从 1 1 1 号城市出发,并最终在 n n n 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中,任何城市可以重复经过多次,但不要求经过所有 n n n 个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费:他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品――水晶球,并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球,用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 C C C 国旅游,他决定这个贸易只进行最多一次,当然,在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。
假设 C C C 国有 5 5 5 个大城市,城市的编号和道路连接情况如下图,单向箭头表示这条道路为单向通行,双向箭头表示这条道路为双向通行。
假设 1 ∼ n 1\sim n 1∼n 号城市的水晶球价格分别为 4 , 3 , 5 , 6 , 1 4,3,5,6,1 4,3,5,6,1。
阿龙可以选择如下一条线路: 1 → 2 → 3 → 5 1\to2\to3\to5 1→2→3→5,并在 2 2 2 号城市以 3 3 3 的价格买入水晶球,在 3 3 3 号城市以 5 5 5 的价格卖出水晶球,赚取的旅费数为 2 2 2。
阿龙也可以选择如下一条线路: 1 → 4 → 5 → 4 → 5 1\to4\to5\to4\to5 1→4→5→4→5,并在第 1 1 1 次到达 5 5 5 号城市时以 1 1 1 的价格买入水晶球,在第 2 2 2 次到达 4 4 4 号城市时以 6 6 6 的价格卖出水晶球,赚取的旅费数为 5 5 5。
现在给出 n n n 个城市的水晶球价格, m m m 条道路的信息(每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况)。请你告诉阿龙,他最多能赚取多少旅费。
输入格式
第一行包含 2 2 2 个正整数 n n n 和 m m m,中间用一个空格隔开,分别表示城市的数目和道路的数目。
第二行 n n n 个正整数,每两个整数之间用一个空格隔开,按标号顺序分别表示这 n n n 个城市的商品价格。
接下来 m m m 行,每行有 3 3 3 个正整数 x , y , z x,y,z x,y,z,每两个整数之间用一个空格隔开。如果 z = 1 z=1 z=1,表示这条道路是城市 x x x 到城市 y y y 之间的单向道路;如果 z = 2 z=2 z=2,表示这条道路为城市 x x x 和城市 y y y 之间的双向道路。
输出格式
一个整数,表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易,则输出 0 0 0。
样例 #1
样例输入 #1
5 5
4 3 5 6 1
1 2 1
1 4 1
2 3 2
3 5 1
4 5 2
样例输出 #1
5
提示
【数据范围】
输入数据保证 1 1 1 号城市可以到达 n n n 号城市。
对于 10 % 10\% 10% 的数据, 1 ≤ n ≤ 6 1\leq n\leq 6 1≤n≤6。
对于 30 % 30\% 30% 的数据, 1 ≤ n ≤ 100 1\leq n\leq 100 1≤n≤100。
对于 50 % 50\% 50% 的数据,不存在一条旅游路线,可以从一个城市出发,再回到这个城市。
对于 100 % 100\% 100% 的数据, 1 ≤ n ≤ 100000 1\leq n\leq 100000 1≤n≤100000, 1 ≤ m ≤ 500000 1\leq m\leq 500000 1≤m≤500000, 1 ≤ x , y ≤ n 1\leq x,y\leq n 1≤x,y≤n, 1 ≤ z ≤ 2 1\leq z\leq 2 1≤z≤2,$1\leq $ 各城市的编号 ≤ n \leq n ≤n。
水晶球价格 ≤ 100 \leq 100 ≤100。
思路一:
考虑分层图,因为每个点有两种状态,为买入和卖出,所以我们可以建三层图,平行层之间的边权为0,从第一层到 第二层由当前点 u u u向 u + n u+n u+n连一条边,表示买入,边权为 − w -w −w,同理,我们由 u + n u+n u+n向 u + n ∗ 2 u+n*2 u+n∗2连一条价值为 w w w的边,表示卖出。然后对整个图去跑最长路即可(因为题目说要价值最大)
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5;
typedef long long ll;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef array<ll, 3> p3;
int mod = 1e9+7;
const int maxv = 4e6 + 5;
// #define endl "\n"
int n,m;
vector<pll> e[N];
void add(int u,int v,int w)
{
e[u].push_back({v,w});
}
int st[N];
int d[N];
void spfa()
{
memset(d,0x3f,sizeof(d));
d[1]=0;
queue<int> q;
q.push(1);
st[1]=1;
while(!q.empty()){
int t=q.front();
q.pop();
st[t]=0;
int i;
for(auto v:e[t]){
int b=v.first;
int w=v.second;
if(d[b]>d[t]+w){
d[b]=d[t]+w;
if(!st[b]){
q.push(b);
st[b]=1;
}
}
}
}
}
void solve()
{
cin>>n>>m;
vector<int> a(n+5);
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i],add(i,i+n,-a[i]),add(i+n,i+2*n,a[i]);
for(int i=1;i<=m;i++){
int x,y,z;
cin>>x>>y>>z;
add(x,y,0);
add(x+n,y+n,0);
add(x+n*2,y+n*2,0);
if(z==2){
add(y,x,0);
add(y+n,x+n,0);
add(y+n*2,x+n*2,0);
}
}
spfa();
cout<<d[n]<<endl;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int t;
t=1;
//cin>>t;
while(t--){
solve();
}
system("pause");
return 0;
}
思路二:
强连通分量缩点然后进行dp。
初始想法,我们考虑若其为DAG,那么我们可以直接进行DP,但又因为肯定存在环,所以可以对其进行强连通分量缩点。
因为缩完点后为DAG,即有向无环图,而我们对于有向无环图可以直接进行dp,同时我们还可以知道每个强连通分量的最小价值和最大价值,那么我们用dp处理出从 1 号点开始,能到达所有点的最小买入价值,然后用该点的卖出价值减去买入价值,最后对其取max即可。
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5;
typedef long long ll;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef array<ll, 3> p3;
int mod = 1e9+7;
// const int maxv = 4e6 + 5;
// #define endl "\n"
int n, m, tot, dfsn[N], ins[N], low[N];
stack<int> s;
vector<int> e[N], e2[N],e3[N];//分别用来存初始图,缩点后的图,缩点后的图对应的反图
vector<vector<int>> scc;
vector<int> b(N);
int a[N];
int minv[N],maxv[N];
struct node
{
int u,v,z;
}h[N];
void dfs(int x)
{
low[x] = dfsn[x] = ++tot, ins[x] = 1, s.push(x);
for (auto u : e[x])
{
if (!dfsn[u])
{
dfs(u);
low[x] = min(low[x], low[u]);
}
else if (ins[u])
low[x] = min(low[x], dfsn[u]);
}
if (dfsn[x] == low[x])
{
vector<int> c;
while (1)
{
auto t = s.top();
c.push_back(t);
ins[t] = 0;
s.pop();
b[t] = scc.size();
int sz=scc.size();
minv[sz]=min(minv[sz],a[t]);
maxv[sz]=max(maxv[sz],a[t]);
if (t == x)
break;
}
scc.push_back(c);
}
}
void add(int u, int v)
{
e[u].push_back(v);
}
bool vis[N];
void dfs2(int x)
{
vis[x]=1;
for(auto u: e3[x])
if(!vis[u]) dfs2(u);
}
void solve()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
for(int i=1;i<=m;i++){
int u,v,z;
cin>>u>>v>>z;
h[i]={u,v,z};
add(u,v);
if(z==2) add(v,u);
}
memset(minv,0x3f,sizeof minv);
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!dfsn[i]){
dfs(i);
}
}
//缩点过程
for(int i=1;i<=m;i++){
auto [u,v,z]=h[i];
int x=b[u],y=b[v];
if(x!=y) {
e2[x].push_back(y),e3[y].push_back(x);
if(z==2) e2[y].push_back(x),e3[x].push_back(y);//同时注意因为题目中说存在双向边,所以在缩点后的建图中同样也需要建立
}
}
vector<int> dp(n+5);
for(int i=0;i<scc.size();i++) dp[i]=minv[i];
int st=b[1];
int ed=b[n];
dfs2(ed);//因为要确保能到达n点,所以从n开始进行dfs搜索能够到达的点,由此需要缩点后的反图
int ans=0;
for(int i=st;i>=0;i--){//从1号点开始,强连通分量即为逆拓扑序
if(vis[i]) {
ans=max(ans,maxv[i]-dp[i]);
}
for(auto u: e2[i]){
dp[u]=min(dp[u],dp[i]);
}
}
cout<<ans<<endl;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int t;
t=1;
//cin>>t;
while(t--){
solve();
}
system("pause");
return 0;
}