题目大意
有 n n n个数，你希望能删除其中不超过 k k k个数，然后将剩下的数划分为两个子集（可以有重复的数字），满足这两个子集的数的和是相等的。
为了降低出题和做题的难度，可以认为这 n n n个数在 1 1 1到 W W W内随机的。
2 ≤ n ≤ 2 × 1 0 5 , min ( 25 , n − 2 ) ≤ k ≤ n − 2 , W = 2 × 1 0 5 2\leq n\leq 2\times 10^5,\min(25,n-2)\leq k\leq n-2,W=2\times 10^5 2≤n≤2×105,min(25,n−2)≤k≤n−2,W=2×105
题解
当 n ≤ 25 n\leq 25 n≤25时，枚举所有子集，找到元素和相同的集合 A A A和 B B B。如果 A A A和 B B B有交集，则两个集合都去掉交集的这部分，最终得到的两个集合即为题意所求。时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)。
当 n > 25 n>25 n>25时，我们可以将这些数从小到大排序，取后 n − 25 n-25 n−25个数，从后往前扫（即要按数值从大到小扫）。维护两个集合的元素和之差 n o w now now：
- 如果 n o w ≤ 0 now\leq 0 now≤0，则当前的 a i a_i ai给集合 A A A， n o w + = a i now+=a_i now+=ai
- 如果 n o w > 0 now>0 now>0，则当前的 a i a_i ai给集合 B B B， n o w − = a i now-=a_i now−=ai
最后的 n o w now now一定满足 ∣ n o w ∣ ≤ W |now|\leq W ∣now∣≤W。
在剩下的 25 25 25个元素中，我们要找到两个集合，满足这两个集合的元素和之差为 n o w now now。
对于所有这 25 25 25个元素的子集，元素和都不超过 25 W 25W 25W，并且子集个数为 2 25 2^{25} 225，是比 26 W 26W 26W大很多的。又因为是选择两个子集使得两个子集的元素和之差等于 n o w now now，而且数据随机，所以几乎一定会出现两个集合的元素和之差为 n o w now now。求这两个集合的方法和 n ≤ 25 n\leq 25 n≤25时求答案方法类似。
时间复杂度为 O ( n + 2 25 ) O(n+2^{25}) O(n+225)。
code
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=200000;
int n,k,now=0,a[N+5],id[N+5],cnt[1<<25],sum[1<<25];
int z[N*30+5],ans1[N+5],ans2[N+5];
bool cmp(int x,int y){
return a[x]<a[y];
}
int lb(int i){
return i&(-i);
}
void solve(int s,int t){
for(int i=1;i<=min(n,25);i++){
if((s>>(i-1)&1)==(t>>(i-1)&1)) continue;
if(s>>(i-1)&1) ans1[++ans1[0]]=i;
else ans2[++ans2[0]]=i;
}
}
void print(){
printf("%d ",ans1[0]);
for(int i=1;i<=ans1[0];i++) printf("%d ",id[ans1[i]]);
printf("\n%d ",ans2[0]);
for(int i=1;i<=ans2[0];i++) printf("%d ",id[ans2[i]]);
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);id[i]=i;
}
for(int i=0;i<=24;i++) cnt[1<<i]=i+1;
if(n<=25){
for(int s=1;s<1<<n;s++){
sum[s]=sum[s^lb(s)]+a[id[cnt[lb(s)]]];
if(z[sum[s]]){
solve(z[sum[s]],s);
print();
return 0;
}
z[sum[s]]=s;
}
printf("-1");
return 0;
}
sort(id+1,id+n+1,cmp);
for(int i=n;i>=26;i--){
if(now<=0){
ans1[++ans1[0]]=i;
now+=a[id[i]];
}
else{
ans2[++ans2[0]]=i;
now-=a[id[i]];
}
}
for(int s=1;s<1<<25;s++){
sum[s]=sum[s^lb(s)]+a[id[cnt[lb(s)]]];
z[sum[s]]=s;
}
for(int s=1;s<1<<25;s++){
int tmp=sum[s]+now;
if(z[tmp]){
solve(s,z[tmp]);
print();
return 0;
}
}
printf("-1");
return 0;
}