归并排序 merge Sort + 图解 + 递归 / 非递归

  1. 归并排序**(merge sort)的主要思想是:将若干个有序序列逐步归并** ,最终归并为一个有序序列
  2. 二路归并排序**(2-way merge sort)归并排序** 中最简单的排序方法

(1)二路归并排序的递归实现

cpp 复制代码
// 二路归并排序的递归实现
void merge(vector<int>& arr,int left, int mid, int right) {
	int n = right - left + 1;
	vector<int> help(n, 0);
	int i = 0,a = left, b = mid + 1;
	while (a <= mid && b <= right) {
		help[i++] = arr[a] <= arr[b] ? arr[a++] : arr[b++];
	}	
	while (a <= mid) { // 对第一个子序列进行收尾工作
		help[i++] = arr[a++];
	}
	while (b <= right) { // 对第二个子序列进行收尾工作
		help[i++] = arr[b++];
	}
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		arr[i+ left] = help[i];
	}
}

void mergeSort(vector<int>& arr,int left, int right) {
	if (left == right) return;// 只有1个记录,递归结束
	int mid = (left + right) / 2;
	//int mid = left + ((right - left) >> 1);
	mergeSort(arr,left, mid);//归并排序前半个子序列
	mergeSort(arr,mid + 1, right);//归并排序后半个子序列
	merge(arr,left, mid, right);//将两个已排序的子序列合并
}

二路归并排序 需要进行 合并两个子序列 的时间性能为。因此,二路归并排序的时间复杂度是,这是归并排序算法最好,最坏,平均的时间性能。

二路归并排序 在归并过程中需要与待排序序列同样数量的存储空间,空间复杂度为。二路归并排序是一种稳定的排序方法。

总结:归并排序递归实现 是一种自顶向下的方法,形式简洁但效率相对较差。


(2)二路归并排序的非递归实现

分析二路归并排序 的递归执行过程,如图所示,可以将具有 n 个记录的待排序序列看成是n 个长度为 1 的有序子序列,然后进行两两合并 ,得到 个长度为 2 的有序子序列(最后一个有序序列的长度可能是1),再进行两两归并 ,得到 个长度为 4 的有序子序列(最后一个有序序列的长度可能小于4),以此类推,直至得到一个长度为 n 的有序序列

二路归并排序的非递归实现需要解决的关键问题是:

  • ① 如何构造初始的有序子序列?
  • ② 如何实现有序子序列的两两合并从而完成一趟归并?
  • ③ 如何控制二路归并的结束?

问题①的解决:设待排序序列含有 n 个记录,则可将整个序列看成是 n个长度为 1 的有序子序列

问题②的解决:在一趟归并中,除最后一个有序序列外,其他有序序列中记录的个数(称为序列长度)相同,用 h 表示。现在的任务是把若干个相邻的长度为 h 的有序序列和最后一个长度有可能小于 h 的有序序列进行两两合并 ,将结果存放到 help[n] 中,为此,设参数 i 指向待归并序列的第一个记录。初始时i = 0 ,显然合并的步长应该是 2h。在归并过程中,有以下三种情况:

  • 情况一 :若i + 2h <= n ,表示待合并的两个相邻的有序子序列的长度均为 h ,如下图所示:执行一次合并,完成后 i2h,准备进行下一次合并
  • 情况二 :若 i + h < n ,则表示仍有两个相邻有序子序列 ,一个长度为 h ,另一个长度小于 h ,如下图所示:执行这两个有序序列的合并 ,完成后退出一趟归并
  • 情况三 :若 i + h >= n ,则表明只剩 下一个有序子序列 ,如下图所示,不用合并

综上,一趟归并排序的成员函数定义如下:

cpp 复制代码
void mergePass(vector<int>& arr,int h,int n) {
	int i = 0;
	while (i + 2 * h <= n) { // 有两个长度为 h 的子序列
		merge(arr,i, i + h - 1, i + 2 * h - 1);
		i = i + 2 * h;
	}
	if (i + h < n) { // 两个子序列一个长度小于h
		merge(arr,i, i + h - 1, n - 1);
	}
}

问题③的解决:开始时,有序子序列的长度为1,结束时,有序子序列的长度为 n 。因此,可以用有序子序列的长度来控制排序过程的结束。二路归并排序非递归算法的成员函数定义如下:

cpp 复制代码
void mergeSort2(vector<int>& arr,int n) {
	int h = 1;
	while (h < n) { // 两个子序列一个长度小于h
		mergePass(arr,h, n); // 一趟归并排序
		h = 2 * h;
	}
}

总结:归并排序非递归实现 是一种自底向上的方法,算法效率较高,但算法较为复杂。


(3)C++完整代码:

cpp 复制代码
/*
	归并排序(merge sort)的主要思想是:将若干个有序序列逐步归并,最终归并为一个有序序列
	二路归并排序(2-way merge sort)是归并排序中最简单的排序方法

	we
*/
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

// 二路归并排序的递归实现
void merge(vector<int>& arr,int left, int mid, int right) {
	int n = right - left + 1;
	vector<int> help(n, 0);
	int i = 0,a = left, b = mid + 1;
	while (a <= mid && b <= right) {
		help[i++] = arr[a] <= arr[b] ? arr[a++] : arr[b++];
	}	
	while (a <= mid) { // 对第一个子序列进行收尾工作
		help[i++] = arr[a++];
	}
	while (b <= right) { // 对第二个子序列进行收尾工作
		help[i++] = arr[b++];
	}
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		arr[i+ left] = help[i];
	}
}

void mergeSort(vector<int>& arr,int left, int right) {
	if (left == right) return;// 只有1个记录,递归结束
	int mid = (left + right) / 2;
	//int mid = left + ((right - left) >> 1);
	mergeSort(arr,left, mid);//归并排序前半个子序列
	mergeSort(arr,mid + 1, right);//归并排序后半个子序列
	merge(arr,left, mid, right);//将两个已排序的子序列合并
}

void mergePass(vector<int>& arr,int h,int n) {
	int i = 0;
	while (i + 2 * h <= n) { // 有两个长度为 h 的子序列
		merge(arr,i, i + h - 1, i + 2 * h - 1);
		i = i + 2 * h;
	}
	if (i + h < n) { // 两个子序列一个长度小于h
		merge(arr,i, i + h - 1, n - 1);
	}
}

void mergeSort2(vector<int>& arr,int n) {
	int h = 1;
	while (h < n) { // 两个子序列一个长度小于h
		mergePass(arr,h, n); // 一趟归并排序
		h = 2 * h;
	}
}
int main() {
	vector<int> arr = { 6,4,2,3,9,1,4 };
	int n = arr.size();
	//mergeSort(arr, 0, n - 1);
	mergeSort2(arr,n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cout << " " << arr[i] << " " << endl;
	}
	system("pause");
	return 0;
}

本文参考书籍:数据结构----从概念到C++实现(第三版)王红梅、王慧、王新颖 编著

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