网格变形
需求分析
根据几何模型上的几个特征点，对几何模型进行变形。比如
技术分析
把几何模型使用三角面片表示，然后通过网格映射变形进行实现。关于网格这块有本经典的书可以参考，《ploygon mesh processing》。上面那个模型看着比较复杂，现在使用比较简单的模型来讲解一种映射方法。
如上图，为2D模型，左图为原始模型， P 1 \mathbf{P} _1 P1 ， P 2 \mathbf{P} _2 P2 ， P 3 \mathbf{P} _3 P3 ， P o \mathbf{P} _o Po 坐标已知，右图为变形后模型，其中 P 11 \mathbf{P} _{11} P11 ， P 12 \mathbf{P} _{12} P12 ， P 13 \mathbf{P} _{13} P13 坐标已知，求 P 1 o \mathbf{P} _{1o} P1o 的坐标。将 P 1 o \mathbf{P} _{1o} P1o的坐标表示成 P 11 \mathbf{P} {11} P11 ， P 12 \mathbf{P} {12} P12 ， P 13 \mathbf{P} {13} P13 的线性组合，比如 P o = k 1 P 1 + k 2 P 2 + k 3 P 3 \mathbf{P} {o} = k_1\mathbf{P} 1 + k_2\mathbf{P} 2+k_3\mathbf{P} 3 Po=k1P1+k2P2+k3P3 ,因为是映射嘛，这里使用同样的系数 k \mathbf{k} k ，即 P 1 o = k 1 P 11 + k 2 P 12 + k 3 P 13 \mathbf{P} {1o} = k_1\mathbf{P} {11} + k_2\mathbf{P} {12}+k_3\mathbf{P} {13} P1o=k1P11+k2P12+k3P13 写成坐标的矩阵形式
P 1 x P 2 x P 3 x P 1 y P 2 y P 3 y k 1 k 2 k 3 = P o x P o y （ 1 ） \begin{bmatrix} P{1x}&P{2x}&P{3x}\\ P{1y}&P{2y}&P{3y} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k{1}\\ k{2}\\ k{3} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} P{ox}\\ P{oy} \end{bmatrix} （1） P1xP1yP2xP2yP3xP3y k1k2k3 =PoxPoy（1）
和
P 11 x P 12 x P 13 x P 11 y P 12 y P 13 y k 1 k 2 k 3 = P 1 o x P 1 o y （ 2 ） \begin{bmatrix} P_{11x}&P_{12x}&P_{13x}\\ P_{11y}&P_{12y}&P_{13y} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_{1}\\ k_{2}\\ k_{3} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} P_{1ox}\\ P_{1oy} \end{bmatrix} （2） P11xP11yP12xP12yP13xP13y k1k2k3 =P1oxP1oy（2）
如果能从（1）式中求出 k 1 {k} _{1} k1, k 2 {k} _{2} k2 , k 3 {k} _{3} k3然后带入（2）式，就可以算出待求点坐标了。至于如何从（1）式中求出 k 1 {k} _{1} k1, k 2 {k} {2} k2 , k 3 {k} {3} k3，其实是一个线性方程组求解 问题， A m n X n = b A{mn}X{n}=b AmnXn=b
在三维空间里，m=3（也就是xyz三个分量），有几个特征点，n就等于几。因为不是方阵无法直接求逆，可以使用伪逆矩阵进行计算，只要解出一组解的k值，就是找到了一个点映射。其他的网格点依次执行就可以了。这样算出来的网格可能会畸变比较大，或者形状不理想现象。至于畸变大可以描述为不够平滑，仍然有很多数学工具可以使用，比如拉普拉斯平滑等。