网格变形
需求分析
根据几何模型上的几个特征点，对几何模型进行变形。比如
技术分析
把几何模型使用三角面片表示，然后通过网格映射变形进行实现。关于网格这块有本经典的书可以参考，《ploygon mesh processing》。上面那个模型看着比较复杂，现在使用比较简单的模型来讲解一种映射方法。
如上图，为2D模型，左图为原始模型， P 1 \mathbf{P} _1 P1 ， P 2 \mathbf{P} _2 P2 ， P 3 \mathbf{P} _3 P3 ， P o \mathbf{P} _o Po 坐标已知，右图为变形后模型，其中 P 11 \mathbf{P} _{11} P11 ， P 12 \mathbf{P} _{12} P12 ， P 13 \mathbf{P} _{13} P13 坐标已知，求 P 1 o \mathbf{P} _{1o} P1o 的坐标。将 P 1 o \mathbf{P} _{1o} P1o的坐标表示成 P 11 \mathbf{P} _{11} P11 ， P 12 \mathbf{P} _{12} P12 ， P 13 \mathbf{P} _{13} P13 的线性组合，比如 P o = k 1 P 1 + k 2 P 2 + k 3 P 3 \mathbf{P} _{o} = k_1\mathbf{P} _1 + k_2\mathbf{P} _2+k_3\mathbf{P} _3 Po=k1P1+k2P2+k3P3 ,因为是映射嘛，这里使用同样的系数 k \mathbf{k} k ，即 P 1 o = k 1 P 11 + k 2 P 12 + k 3 P 13 \mathbf{P} _{1o} = k_1\mathbf{P} _{11} + k_2\mathbf{P} _{12}+k_3\mathbf{P} _{13} P1o=k1P11+k2P12+k3P13 写成坐标的矩阵形式
P 1 x P 2 x P 3 x P 1 y P 2 y P 3 y \] \[ k 1 k 2 k 3 \] = \[ P o x P o y \] （ 1 ） \\begin{bmatrix} P_{1x}\&P_{2x}\&P_{3x}\\\\ P_{1y}\&P_{2y}\&P_{3y} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} k_{1}\\\\ k_{2}\\\\ k_{3} \\end{bmatrix} =\\begin{bmatrix} P_{ox}\\\\ P_{oy} \\end{bmatrix} （1） \[P1xP1yP2xP2yP3xP3y\] k1k2k3 =\[PoxPoy\]（1） 和 \[ P 11 x P 12 x P 13 x P 11 y P 12 y P 13 y \] \[ k 1 k 2 k 3 \] = \[ P 1 o x P 1 o y \] （ 2 ） \\begin{bmatrix} P_{11x}\&P_{12x}\&P_{13x}\\\\ P_{11y}\&P_{12y}\&P_{13y} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} k_{1}\\\\ k_{2}\\\\ k_{3} \\end{bmatrix} =\\begin{bmatrix} P_{1ox}\\\\ P_{1oy} \\end{bmatrix} （2） \[P11xP11yP12xP12yP13xP13y\] k1k2k3 =\[P1oxP1oy\]（2） 如果能从（1）式中求出 k 1 {k} _{1} k1, k 2 {k} _{2} k2 , k 3 {k} _{3} k3然后带入（2）式，就可以算出待求点坐标了。至于如何从（1）式中求出 k 1 {k} _{1} k1, k 2 {k} _{2} k2 , k 3 {k} _{3} k3，其实是一个**线性方程组求解** 问题， A m n X n = b A_{mn}X_{n}=b AmnXn=b 在三维空间里，m=3（也就是xyz三个分量），有几个特征点，n就等于几。因为不是方阵无法直接求逆，可以使用**伪逆矩阵**进行计算，只要解出一组解的k值，就是找到了一个点映射。其他的网格点依次执行就可以了。这样算出来的网格可能会畸变比较大，或者形状不理想现象。至于畸变大可以描述为不够平滑，仍然有很多数学工具可以使用，比如拉普拉斯平滑等。