acwing算法基础之数学知识--求数a的欧拉函数值phi(a)

YMWM_2023-11-14 15:55

1 基础知识

数a的欧拉函数 ϕ ( a ) \phi(a) ϕ(a)：表示1~n中与n互质的数的个数。其中两个数互质，是指这两个数的最大公约数为1。

根据定义，我们可以写出如下方法，

cpp 复制代码

int gcd(int a, int b) {
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

int phi(int a) {
	int res = 0;
	for (int i = 1; i <= a; ++i) {
		if (gcd(i, a) == 1) {
			res += 1;
		}
	}
	return res;
}

但存在更快的求解方法，见如下关键步骤：

对数a进行分解质因子操作。
a = p 1 α 1 ⋅ p 2 α 2 ⋯ p k α k a=p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k} a=p1α1⋅p2α2⋯pkαk

cpp 复制代码

unordered_map<int,int> get_prime_divisors(int a) {
	unordered_map<int,int> mp;
	for (int i = 2; i <= a / i; ++i) {
		if (a % i == 0) {
			int s = 0;
			while (a % i == 0) {
				a /= i;
				s++;
			}
			mp[i] = s;
		}
	}
	if (a > 1) mp[a] = 1;
	return mp;
}

计算数a的欧拉函数，
ϕ ( a ) = a ⋅ ( 1 − 1 p 1 ) ⋅ ( 1 − 1 p 2 ) ⋯ ( 1 − 1 p k ) \phi(a)=a\cdot (1-\frac{1}{p_1}) \cdot (1-\frac{1}{p_2}) \cdots (1-\frac{1}{p_k}) ϕ(a)=a⋅(1−p11)⋅(1−p21)⋯(1−pk1)

cpp 复制代码

int phi(int a, unordered_map<int,int> mp) {
	int res = a;
	for (auto [x, y] : mp) {
		res = res / x * (x - 1);
	}
	return res;
}

可以将以上两步合并，请看如下代码，

cpp 复制代码

int phi(int a) {
	int res = a;
	for (int i = 2; i <= a / i; ++i) {
		if (a % i == 0) {
			res = res / i * (i - 1);
			while (a % i == 0) {
				a /= i;
			}
		}
	}
	if (a > 1) {
		res = res / a * (a - 1);
	}
	return res;
}

2 模板

cpp 复制代码

int phi(int x)
{
    int res = x;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0)
        {
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);

    return res;
}

3 工程化

题目1：输入n个数，请分别求出它们的欧拉函数值。

cpp 复制代码

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    
    while (n--) {
        int x;
        cin >> x;
        
        int res = x;
        for (int i = 2; i <= x / i; ++i) {
            if (x % i == 0) {
                res = res / i * (i - 1);
                while (x % i == 0) x /= i;
            }
        }
        if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
        cout << res << endl;
    }
    
    return 0;
}

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