回溯法

一、（what？）

二、（why？）

三、（how？）

四、典型例题分析：

例题1：大卖场购物车2------0-1背包问题

问题分析：

算法设计：

图解算法：

伪代码：

cpp 复制代码

double Bound(int i)//计算上界（即已装入物品价值+剩余物品的总价值）
{
     int rp=0; //剩余物品为第i~n种物品
     while(i<=n)//依次计算剩余物品的价值
     {
          rp+=v[i];
          i++;
     }
     return cp+rp;//返回上界
}

cpp 复制代码

void Backtrack(int t)     //t表示当前扩展结点在第t层
{
     if(t>n)              //已经到达叶子结点
     {
          for(j=1;j<=n;j++)
          {
               bestx[j]=x[j];
          }
          bestp=cp;       //保存当前最优解
          return ;
     }
     if(cw+w[t]<=W)       //如果满足约束条件则搜索左子树
     {
          x[t]=1;
          cw+=w[t];
          cp+=v[t];
          Backtrack(t+1);
          cw-=w[t];
          cp-=v[t];
     }
     if(Bound(t+1)>bestp) //如果满足限界条件则搜索右子树
     {
          x[t]=0;
          Backtrack(t+1);
     }
}

完整代码：

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
#define M 105 
using namespace std;

int i,j,n,W; //n表示n个物品，W表示购物车的容量
double w[M],v[M];//w[i] 表示第i个物品的重量，v[i] 表示第i个物品的价值
bool x[M]; //x[i]表示第i个物品是否放入购物车
double cw; //当前重量
double cp;//当前价值
double bestp;//当前最优价值
bool bestx[M]; //当前最优解

double Bound(int i)//计算上界（即已装入物品价值，剩余物品的总价值） 
{
	int rp=0;//剩余物品为第i~n种物品 
	while(i<=n)//一次计算剩余物品的价值 
	{
		rp+=v[i];
		i++;
	}
	return cp+rp;//返回上界 
}

void Backtrack(int t)//t表示当前扩展点在第t层 
{
	if(t>n)//已经到达叶子结点
	{
		for(j=1;j<=n;j++)
		{
			bestx[j]=x[j];
		}
		bestp=cp;//保存当前最优解
		return ; 
	 } 
	 if(cw+w[i]<=W)//如果满足条件约束搜索左子树 
	 {
	 	x[t]=1;
	 	cw+=w[t];
	 	cp+=v[t];
	 	Backtrack(t+1);
	 	cw-=w[t];
	 	cp-=v[t];
	 }
	 if(Bound(t+1)>bestp)//如果满足限界条件搜索右子树 
	 {
	 	x[t]=0;
	 	Backtrack(t+1);
	 }
}

void Knapsack(double W,int n)
{
	//初始化
	cw=0;
	cp=0;
	bestp=0;
	double sumw=0.0;
	double sumv=0.0;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		sumv+=v[i];
		sumw+=w[i];
	}
	if(sumw<=W)
	{
		bestp=sumv;
		cout<<"放入购物车的物品最大价值为："<<bestp<<endl;
        cout<<"所有的物品均放入购物车。";
        return;
	}
	Backtrack(1);
    cout<<"放入购物车的物品最大价值为："<<bestp<<endl;
    cout<<"放入购物车的物品序号为：";
    for(i=1;i<=n;i++) //输出最优解
    {
        if(bestx[i]==1)
        cout<<i<<" ";
    }
    cout<<endl;
}

int main()
{
	cout << "请输入物品的个数n：";
    cin >> n;
    cout << "请输入购物车的容量W：";
    cin >> W;
    cout << "请依次输入每个物品的重量w和价值v，用空格分开：";
    for(i=1;i<=n;i++)
        cin>>w[i]>>v[i];
    Knapsack(W,n);
	return 0;
}

例题2：

例题3：

例题4：

例题5：

例题6：

回 溯 法