🥳前端算法面试--动态规划之最短路径-每日一练

前言

今天分享的内容是前端必问算法，没有之一--动态规划。

动态规划(Dynamic Programming, DP)是一种在数学、计算机科学和经济学领域中使用的解决复杂问题的方法。它的核心思想是将问题分解成相互依赖的子问题，然后用一个表格存储这些子问题的解，以避免重复计算。动态规划适用于具有重叠子问题和最优子结构特点的问题，通常可用于求解最优化问题。

提炼几个关键点：

重复的子问题
最优结构子问题
避免重复计算

其中，第一个点和上篇文章讲到的回溯算法一致，都是将一个大问题分解成多个重复的子问题。而后面两点就是动态规划的独有特点了。动态规划可以通过找到最优结构的子问题，从而避免重复计算

本篇文章的问题和上篇文章的问题一致，即找到方格的最短路径

假设 n*n 的方格，每个方格都有一个数字，表示这个方格的权重。现在要从（0，0）走到（n-1, n-1），有很多路径。就像下面这个九宫格，从左上角走到右下角，可以右右右下下下，也可以下下下右右右，也可以右右下下下右，有很多种走法，每种走法的权重都不一样，现在要找到权重之和最小的那条路径

问题描述摘抄自上篇文章🥳前端算法面试之找到最短路径-每日一练 - 掘金，这里还有用回溯算法解决该问题的讲解

问题分析

用回溯算法的解决思路就是找到所有的路径，但是这里还有优化的空间。

就拿上面的九宫格举例子，假设已经走到了(1,1)这个位置，那么有两种可能，一种是走(0,0)->(1,0)->(1,1),那么路径权重就是 12，还有一种是走(0,0)->(0,1)->(1,1)，这样路径权重就是 18 了。其实对于后者就没必要继续算下去了，直接使用前者的路线继续算就可以了。但对于回溯算法，每种权重还是会继续算下去，这就是回溯算法时间复杂度高的原因。

动态规划对回溯算法优化，正是从这个方向入手。走到某一格，只保留最短的权重路径，从而继续下去。直接抛弃其他的路径走法。

对于任何一格，可以往下走的选择都是要么往右，要么往下。假设现在走到了 (i,j) 格，它的上一步的路径来源也就要么来自上方(i-1,j)，要么来自左方(i,j-1)。然后它只要选择这两个路径中最短权重的，加上自身的权重 weight(i,j)，意思是走到了它这一格，最短路径是 weight(i,j) + min( weight(i-1,j), weight(i, j-1) )。如果 X 不是重点的话，就相当于挑了一条最短路径继续往下走。如果 X 是重点，那么整个方格的最短路径的权重就求出来了。

到这里，思路分析得差不多了，下面看代码怎么实现的

动态规划的实现

javascript 复制代码

/**
 *
 * @param {number[][]} data
 */
const findShortPath = (data) => {
  // 初始化path数组
	const path = Array(data.length)
		.fill(0)
		.map(() => Array(data.length).fill(0));

	path[0][0] = data[0][0];

  // 初始化行
	for (let i = 1; i < data.length; i++) {
		path[0][i] = path[0][i - 1] + data[0][i];
	}

  // 初始化列
	for (let j = 1; j < data.length; j++) {
		path[j][0] = path[j - 1][0] + data[j][0];
	}

  // 计算剩下的格子
	for (let i = 1; i < data.length; i++) {
		for (let j = 1; j < data.length; j++) {
			path[i][j] = data[i][j] + Math.min(path[i - 1][j], path[i][j - 1]);
		}
	}
	// check
	console.log(path);
	console.log("the min weight is: ", path[data.length - 1][data.length - 1]);
};

代码的逻辑也是按照上面分析的来，计算每个格子的时候，值为data[i][j] + Math.min(path[i - 1][j], path[i][j - 1])，意为选取最短的路径往下走。注意⚠️，相较于回溯算法，动态规划的高明之处正在于此，只保留最短路径往下走，而不是计算所有的路径值。

在计算路径之前，先要初始化第 1 行和第 1 列的数据，方便后面的计算。

计算完成之后，函数的末尾会打印出 path，大家可以看看生成的 path 长什么样子。并且 path 最后一格的值就是我们要求的最短路径

执行代码

javascript 复制代码

const data = [
	[3, 4, 2, 1],
	[5, 2, 4, 1],
	[7, 6, 4, 3],
	[5, 9, 2, 4],
];

findShortPath(data);

输出结果：

下面测试几个简单的方格数据，方便大家判断代码的正确性：

例一

javascript 复制代码

const data = [
	[1, 2, 2],
	[1, 2, 2],
	[1, 1, 1],
];

打印结果：

例二

javascript 复制代码

const data = [
	[1, 2, 2],
	[1, 0, 2],
	[1, 0, 1],
];

打印结果：

代码正确🙆

总结

这篇文章分享了如何用动态规划的方法找到权重最短的路径，并且分析了回溯算法复杂度高的原因，从原因入手，就是动态规划提高性能的方向，即保留局部最优的路径，其他的路径可能性就不考虑。同时文中给出了 JS 代码实现，例子也很详细。

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