【算法基础】筛质数

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问题描述

给定一个正整数 n n n,请你求出 1 ∼ n 1∼n 1∼n 中质数的个数。

输入格式

共一行,包含整数 n。

输出格式

共一行,包含一个整数,表示 1∼n 中质数的个数。

数据范围
1 ≤ n ≤ 1 0 6 1≤n≤10^6 1≤n≤106


解决方法

朴素筛法

从前往后遍历,把每个数的倍数都删掉,剩下的数就是质数

证明方法在前面的一个打卡里面写了,复杂度是O(nlogn)

这里优化一下,只需要把所有质数的倍数删掉即可,证明也是在上一篇文章里面讲了

这里是时间复杂度为O(nloglogn),这里把它叫做埃氏筛法

代码实现

cpp 复制代码
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 1000010;
bool st[N];
int cnt, primes[N];

int get_primes(int n){
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        if(!st[i]){
            primes[cnt++] = i;
            for(int j = i + i; j <= n; j += i) st[j] = true;
        }
    }
    return cnt;
}

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    int res = get_primes(n);
    cout << res << endl;

    return 0;
}

线性筛法

思想 :把每一个合数用它的某一个质因子筛掉即可

每个合数x一定会被筛掉,而且筛的时候一定用的是最小质因子,

而且每个数只有一个最小质因子,所以每个数只会被筛一次,所以是线性的。

代码实现

cpp 复制代码
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 1000010;
bool st[N];
int cnt, primes[N];

int get_primes(int n){
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        if(!st[i]) primes[cnt++] = i;   //如果是质数,把它放到数表里面去
        //从小到大枚举所有的质数
        for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j++){
            st[primes[j] * i] = true;       //把primes[j]这个质数的某个倍数筛掉即可(核心思想)
            //这个合数是前面某一个质数的倍数,已经筛掉了
            if(i % primes[j] == 0) break;   //(因为是从小到达枚举的所有的质数,所以第一次出现的primes[j]一定是i的最小质因子)
        }
    }
    return cnt;
}

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    int res = get_primes(n);
    cout << res << endl;

    return 0;
}

作者:为梦而生

链接:https://www.acwing.com/file_system/file/content/whole/index/content/10509230/

来源:AcWing

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