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题目描述
在一个圆形操场的四周 摆放 N N N 堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆,规定每次只能选相邻的 2 2 2 堆合并成新的一堆,并将新的一堆的石子数,记为该次合并的得分。
试设计出一个算法,计算出将 N N N 堆石子合并成 1 1 1 堆的最小得分和最大得分。
输入格式
数据的第 1 1 1 行是正整数 N N N,表示有 N N N 堆石子。
第 2 2 2 行有 N N N 个整数,第 i i i 个整数 a i a_i ai 表示第 i i i 堆石子的个数。
输出格式
输出共 2 2 2 行,第 1 1 1 行为最小得分,第 2 2 2 行为最大得分。
样例 #1
样例输入 #1
4
4 5 9 4
样例输出 #1
43
54
提示
1 ≤ N ≤ 100 1\leq N\leq 100 1≤N≤100, 0 ≤ a i ≤ 20 0\leq a_i\leq 20 0≤ai≤20。
算法思想
每次只能选相邻的 2 2 2 堆合并成新的一堆,以每次合并为阶段进行区间型动态规划,以最小得分为例:
- 状态表示: f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]表示从第 i i i堆石子一直合并到第 j j j堆石子的最小得分
- 状态计算:根据最后一次合并的位置可以分为下面几种情况:
- 将第 i i i堆石子和后面已经完成的 [ i + 1... j ] [i+1...j] [i+1...j]这堆石子合并,得到的分数为 f [ i ] [ i ] + f [ i + 1 ] [ j ] + s [ i . . . j ] f[i][i]+f[i+1][j]+s[i...j] f[i][i]+f[i+1][j]+s[i...j]
- 将前面已经完成合并的 [ i . . . i + 1 ] [i...i+1] [i...i+1]这堆石子和后面已经完成的 [ i + 2... j ] [i+2...j] [i+2...j]这堆石子合并,得到的分数为 f [ i ] [ i + 1 ] + f [ i + 2 ] [ j ] + s [ i . . . j ] f[i][i+1]+f[i+2][j]+s[i...j] f[i][i+1]+f[i+2][j]+s[i...j]
- ...
- 将前面已经完成合并的 [ i . . . k ] [i...k] [i...k]这堆石子和后面已经完成的 [ k + 1... j ] [k+1...j] [k+1...j]这堆石子合并,得到的分数为 f [ i ] [ i + 1 ] + f [ i + 2 ] [ j ] + s [ i . . . j ] f[i][i+1]+f[i+2][j]+s[i...j] f[i][i+1]+f[i+2][j]+s[i...j]
- ...
- 将前面已经完成合并的 [ i . . . j − 1 ] [i...j-1] [i...j−1]这堆石子和第 j j j堆石子合并,得到的分数为 f [ i ] [ j − 1 ] + f [ j ] [ j ] + s [ i . . . j ] f[i][j-1]+f[j][j]+s[i...j] f[i][j−1]+f[j][j]+s[i...j]
f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]为以上情况的最小值。其中 s [ i . . . j ] s[i...j] s[i...j]表示本次合并得到的分数,也就是第 i i i堆石子到第 j j j堆石子的分数和,可以使用前缀和计算得到。
- 初始状态:为计算最小值 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]应初始化为无穷大; f [ i ] [ i ] f[i][i] f[i][i]表示就合并自己,初始值为0。
除此之外,由于是在一个圆形操场的四周 摆放 N N N 堆石子,也就是说可以从任何一点出发进行合并。因此,需要采用拆环为链的方式进行处理,最后求以任意起点开始分数的最小值。
时间复杂度
状态数为 n × n n\times n n×n,状态计算时需要枚举最后一次合并位置,因此时间复杂度为 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)。
代码实现
cpp
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 110 * 2, INF = 0x3f3f3f3f;
int f[N][N], g[N][N];
int a[N], s[N];
int main()
{
int n;
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
cin >> a[i];
a[n + i] = a[i]; //拆环为链
}
//计算前缀和
for(int i = 1; i < 2 * n; i ++) s[i] = s[i - 1] + a[i];
//枚举每次合并的长度,最小长度为2
for(int len = 2; len <= n; len ++)
for(int i = 1; i + len - 1 < 2 * n; i ++) //枚举开始合并的位置
{
int j = i + len - 1; //合并结束的位置
f[i][j] = INF; //初始状态
//枚举最后一次合并的位置k
for(int k = i; k < j; k ++)
{
f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k + 1][j] + s[j] - s[i - 1]); //最小得分
g[i][j] = max(g[i][j], g[i][k] + g[k + 1][j] + s[j] - s[i - 1]); //最大得分
}
}
int minx = 1e9, maxx = 0;
for(int i = 1; i <= n; i ++) //枚举合并起点
{
minx = min(minx, f[i][i + n - 1]);
maxx = max(maxx, g[i][i + n - 1]);
}
cout << minx << '\n' << maxx;
return 0;
}