NOI1995：石子合并

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$NOI1995$ 石子合并

题目描述

在一个圆形操场的四周摆放 N N N 堆石子，现要将石子有次序地合并成一堆，规定每次只能选相邻的 2 2 2 堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。

试设计出一个算法,计算出将 N N N 堆石子合并成 1 1 1 堆的最小得分和最大得分。

输入格式

数据的第 1 1 1 行是正整数 N N N，表示有 N N N 堆石子。

第 2 2 2 行有 N N N 个整数，第 i i i 个整数 a i a_i ai 表示第 i i i 堆石子的个数。

输出格式

输出共 2 2 2 行，第 1 1 1 行为最小得分，第 2 2 2 行为最大得分。

样例 #1

样例输入 #1

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4
4 5 9 4

样例输出 #1

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提示

1 ≤ N ≤ 100 1\leq N\leq 100 1≤N≤100， 0 ≤ a i ≤ 20 0\leq a_i\leq 20 0≤ai≤20。

算法思想

每次只能选相邻的 2 2 2 堆合并成新的一堆，以每次合并为阶段进行区间型动态规划，以最小得分为例：

状态表示： f $i$ $j$ f $i$ $j$ f $i$ $j$ 表示从第 i i i堆石子一直合并到第 j j j堆石子的最小得分
状态计算：根据最后一次合并的位置可以分为下面几种情况：
- 将第 i i i堆石子和后面已经完成的 $i + 1... j$ $i+1...j$ $i+1...j$ 这堆石子合并，得到的分数为 f $i$ $i$ + f $i + 1$ $j$ + s $i . . . j$ f $i$ $i$ +f $i+1$ $j$ +s $i...j$ f $i$ $i$ +f $i+1$ $j$ +s $i...j$
- 将前面已经完成合并的 $i . . . i + 1$ $i...i+1$ $i...i+1$ 这堆石子和后面已经完成的 $i + 2... j$ $i+2...j$ $i+2...j$ 这堆石子合并，得到的分数为 f $i$ $i + 1$ + f $i + 2$ $j$ + s $i . . . j$ f $i$ $i+1$ +f $i+2$ $j$ +s $i...j$ f $i$ $i+1$ +f $i+2$ $j$ +s $i...j$
- ...
- 将前面已经完成合并的 $i . . . k$ $i...k$ $i...k$ 这堆石子和后面已经完成的 $k + 1... j$ $k+1...j$ $k+1...j$ 这堆石子合并，得到的分数为 f $i$ $i + 1$ + f $i + 2$ $j$ + s $i . . . j$ f $i$ $i+1$ +f $i+2$ $j$ +s $i...j$ f $i$ $i+1$ +f $i+2$ $j$ +s $i...j$
- ...
- 将前面已经完成合并的 $i . . . j - 1$ $i...j-1$ $i...j-1$ 这堆石子和第 j j j堆石子合并，得到的分数为 f $i$ $j - 1$ + f $j$ $j$ + s $i . . . j$ f $i$ $j-1$ +f $j$ $j$ +s $i...j$ f $i$ $j-1$ +f $j$ $j$ +s $i...j$

f $i$ $j$ f $i$ $j$ f $i$ $j$ 为以上情况的最小值。其中 s $i . . . j$ s $i...j$ s $i...j$ 表示本次合并得到的分数，也就是第 i i i堆石子到第 j j j堆石子的分数和，可以使用前缀和计算得到。

初始状态：为计算最小值 f $i$ $j$ f $i$ $j$ f $i$ $j$ 应初始化为无穷大； f $i$ $i$ f $i$ $i$ f $i$ $i$ 表示就合并自己，初始值为0。

除此之外，由于是在一个圆形操场的四周摆放 N N N 堆石子，也就是说可以从任何一点出发进行合并。因此，需要采用拆环为链的方式进行处理，最后求以任意起点开始分数的最小值。

时间复杂度

状态数为 n × n n\times n n×n，状态计算时需要枚举最后一次合并位置，因此时间复杂度为 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)。

代码实现

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 110 * 2, INF = 0x3f3f3f3f;
int f[N][N], g[N][N];
int a[N], s[N];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) 
    {
        cin >> a[i];
        a[n + i] = a[i]; //拆环为链
    }
    //计算前缀和
    for(int i = 1; i < 2 * n; i ++) s[i] = s[i - 1] + a[i];
    //枚举每次合并的长度，最小长度为2    
    for(int len = 2; len <= n; len ++)
        for(int i = 1; i + len - 1 < 2 * n; i ++) //枚举开始合并的位置
        {
            int j = i + len - 1; //合并结束的位置
            f[i][j] = INF; //初始状态
            //枚举最后一次合并的位置k
            for(int k = i; k < j; k ++)
            {
                f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k + 1][j] + s[j] - s[i - 1]); //最小得分
                g[i][j] = max(g[i][j], g[i][k] + g[k + 1][j] + s[j] - s[i - 1]); //最大得分
            }
        }
    
    int minx = 1e9, maxx = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) //枚举合并起点
    {
        minx = min(minx, f[i][i + n - 1]);
        maxx = max(maxx, g[i][i + n - 1]);
    }
    cout << minx << '\n' << maxx;
    
    return 0;
}