见面礼——图论

OLDERHARD2023-11-21 14:05

给定一个 n 个点 n 条边的无向图，你需要求有多少种选择图上的一个点 p 和一条边 (x,y) 的方案，使得删去 (x,y) 后图变成一棵树，且这棵树以 p 为根时每个节点的儿子个数均不超过 3。保证至少存在一种这样的方案。

Input

输入的第一行一个整数 n（2≤n≤105）表示节点数，接下来 n 行每行两个整数 x,y（1≤x,y≤n）描述图上的一条边。保证图中没有重边自环。

Output

输出一行一个正整数表示答案。

Input

1 2

1 3

1 4

1 5

1 6

2 3

Output

解析：

n个点n条边，所以该图就成一个环。只有将环中的一条边删去，该图才能变为一棵树。

复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long 
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
typedef pair<int,int> PII;
const int N=2e6+10;
vector <int> g[N];
map <int,int> k;
int p[N];
int d[N];
bool vis[N];
vector <PII> q;  //储存成环的边
int n;
void dfs(int u,int pa)
{
    p[u]=pa;
    vis[u]=1;
    for (auto v:g[u])
    {
        if (v==pa) continue;
        if (vis[v]==1&&q.size()==0)    //当点 v 被再次遍历时，现在已经建成一个环了，就可以回溯将环中的每条边放入队列 q 中
        {
            q.push_back({u,v});
            while (p[u]!=v)
            {
                q.push_back({u,p[u]});
                u=p[u];
            }
            q.push_back({u,p[u]});
        }
        if (vis[v]==1) continue;  //走过的点，不用继续操作了，否则会死循环
        dfs(v,u);
    }
}
signed main()
{
    ios;
    cin>>n;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int u,v;
        cin>>u>>v;
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
        d[u]++;
        d[v]++;
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        k[d[i]]++;  //记录度数相同的点的数量
    }
    //for (auto x:k) cout<<x.first<<" "<<x.second<<endl;
    dfs(1,0);
    //for (auto x:q) cout<<x.first<<" "<<x.second<<endl;
    int ans=0;
    for (auto x:q)   //遍历每条要删掉的边
    {
        int du=d[x.first];
        int dv=d[x.second];
        k[du]--;
        k[dv]--;
        k[du-1]++;
        k[dv-1]++;
        int res=0;
        bool flag=0;
        for (auto y:k)       //删除边后，再遍历每个点，判断能否成为根节点
        {
            int cnt=y.first;
            int s=y.second;
            if (cnt<=3) res +=s;
            if (cnt>=5&&s>0) flag=1;    //既当不了根节点，也当不了儿子节点
        }
        if (flag==0) ans +=res;
        k[du]++;  //还原
        k[dv]++;
        k[du-1]--;
        k[dv-1]--;
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}