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抽样分布
所谓抽样分布是指统计量的概率分布。确定统计量的分布是数理统计学的基本问题之一。
几个重要分布
Γ \Gamma Γ 分布
若随机变量 X X X 具有概率密度 f ( x ; α , λ ) = { λ α Γ ( α ) x α − 1 e − λ x , x > 0 0 , x ≤ 0 f(x;\alpha,\lambda)=\begin{cases} \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}, &x>0 \\ 0, &x\le0 \end{cases} f(x;α,λ)={Γ(α)λαxα−1e−λx,0,x>0x≤0则称 X X X 服从参数为 α 、 λ \alpha、\lambda α、λ 的 Γ \Gamma Γ 分布，记为 X ∼ Γ ( α , λ ) X\sim \Gamma(\alpha, \lambda) X∼Γ(α,λ) ，其中 α > 0 , λ > 0 \alpha >0,\lambda >0 α>0,λ>0 为参数。
Γ \Gamma Γ 分布具有下列性质：
- 若 X ∼ Γ ( α , λ ) X\sim \Gamma(\alpha, \lambda) X∼Γ(α,λ)，则 E ( X ) = α / λ , D ( x ) = α / λ 2 . E(X)=\alpha/\lambda, D(x)=\alpha/\lambda^2. E(X)=α/λ,D(x)=α/λ2.
- 可加性。若 X i ∼ Γ ( α i , λ ) , i = 1 , . . . , n X_i\sim \Gamma(\alpha_i, \lambda),i=1,...,n Xi∼Γ(αi,λ),i=1,...,n，且 X 1 , . . . , X n X_1,...,X_n X1,...,Xn 相互独立，则 X 1 + . . . + X n ∼ Γ ( α 1 + . . . + α n , λ ) X_1+...+X_n\sim\Gamma(\alpha_1+...+\alpha_n,\lambda) X1+...+Xn∼Γ(α1+...+αn,λ)
- 在 Γ \Gamma Γ 分布中取 α = 1 \alpha=1 α=1，即得指数分布 Exp ( λ ) \text{Exp}(\lambda) Exp(λ) f ( x ; λ ) = { λ e − λ x , x > 0 0 , x ≤ 0 f(x;\lambda)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, &x>0 \\ 0, &x\le0 \end{cases} f(x;λ)={λe−λx,0,x>0x≤0 由此可得性质 2 的一个推论：若 X 1 , . . . , X n X_1,...,X_n X1,...,Xn 为 i.i.d. \text{i.i.d.} i.i.d.，且 X 1 ∼ Exp ( λ ) X_1\sim \text{Exp}(\lambda) X1∼Exp(λ)，则 ∑ i = 1 n X i ∼ Γ ( n , λ ) \sum_{i=1}^nX_i \sim \Gamma(n,\lambda) i=1∑nXi∼Γ(n,λ)
β \beta β 分布
若随机变量 X X X 具有概率密度 f ( x ; a , b ) = { x a − 1 ( 1 − x ) b − 1 B ( a , b ) , 0 < x < 1 0 , 其他 f(x;a,b)=\begin{cases} \frac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}, &0<x<1 \\ 0, &其他 \end{cases} f(x;a,b)={B(a,b)xa−1(1−x)b−1,0,0<x<1其他则称 X X X 服从参数为 a 、 b a、b a、b 的 β \beta β 分布，记为 X ∼ β ( a , b ) X\sim \beta(a,b) X∼β(a,b) ，其中 a > 0 , b > 0 a >0,b >0 a>0,b>0 为参数， B ( a , b ) B(a,b) B(a,b) 为 β \beta β 函数。
β \beta β 分布具有下列性质：
- 若 X ∼ β ( a , b ) X\sim \beta(a,b) X∼β(a,b)，则 E ( X ) = a a + b , D ( X ) = a b ( a + b ) 2 ( a + b + 1 ) E(X)=\frac{a}{a+b},D(X)=\frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)} E(X)=a+ba,D(X)=(a+b)2(a+b+1)ab
- 若 X ∼ Γ ( a , 1 ) , Y ∼ Γ ( b , 1 ) X\sim \Gamma(a,1),Y\sim \Gamma(b,1) X∼Γ(a,1),Y∼Γ(b,1)，且 X , Y X,Y X,Y 相互独立，则 Z = X X + Y ∼ β ( a , b ) Z=\frac{X}{X+Y}\sim \beta(a,b) Z=X+YX∼β(a,b)
χ 2 \chi^2 χ2 分布
若随机变量 X X X 具有概率密度 χ 2 ( x ; n ) = { x n / 2 − 1 e − x / 2 2 n / 2 Γ ( n / 2 ) , x > 0 0 , x ≤ 0 \chi^2(x;n)=\begin{cases} \frac{x^{n/2-1}e^{-x/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}, &x>0 \\ 0, &x\le0 \end{cases} χ2(x;n)={2n/2Γ(n/2)xn/2−1e−x/2,0,x>0x≤0 则称 X X X 服从自由度为 n n n 的 χ 2 \chi^2 χ2 分布，记为 X ∼ χ 2 ( n ) X\sim \chi^2(n) X∼χ2(n)。
χ 2 \chi^2 χ2 分布具有下列性质：
- 若 X ∼ χ 2 ( n ) X\sim \chi^2(n) X∼χ2(n)，则 E ( X ) = n , D ( X ) = 2 n E(X)=n,D(X)=2n E(X)=n,D(X)=2n
- 可加性。若 X i ∼ χ 2 ( n i ) , i = 1 , . . . , k X_i \sim \chi^2(n_i),i=1,...,k Xi∼χ2(ni),i=1,...,k，且 X 1 , . . . , X k X_1,...,X_k X1,...,Xk 相互独立，则 X 1 + . . . + X n ∼ χ 2 ( n 1 + . . . + n k ) X_1+...+X_n\sim \chi^2(n_1+...+n_k) X1+...+Xn∼χ2(n1+...+nk)
设随机变量 X 1 , . . . , X n X_1,...,X_n X1,...,Xn 相互独立，且都服从标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)，则随机变量 χ 2 = ∑ i = 1 n X i 2 \chi^2=\sum_{i=1}^n X_i^2 χ2=∑i=1nXi2 服从自由度为 n n n 的 χ 2 \chi^2 χ2 分布。
t t t 分布
t t t 分布又称学生分布，随机变量 T T T 服从自由度为 n n n 的 t t t 分布记为 T ∼ t ( n ) T\sim t(n) T∼t(n)。
t t t 分布的概率密度关于 x = 0 x=0 x=0 对称，并且当 ∣ x ∣ → + ∞ |x|\to +\infty ∣x∣→+∞ 时单调下降地趋于 0，且当自由度 n → + ∞ n\to +\infty n→+∞ 时，自由度为 n n n 的 t t t 分布收敛于标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)。
若 X ∼ N ( 0 , 1 ) , Y ∼ χ 2 ( n ) X\sim N(0,1),Y\sim \chi^2(n) X∼N(0,1),Y∼χ2(n)，且 X X X 与 Y Y Y相互独立，则 T = X Y / n ∼ t ( n ) T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n) T=Y/n X∼t(n)
F F F 分布
随机变量 F F F 服从自由度为 ( n 1 , n 2 ) (n_1,n_2) (n1,n2) 的 F F F 分布记为 F ∼ F ( n 1 , n 2 ) F\sim F(n_1,n_2) F∼F(n1,n2)。
若 X ∼ χ 2 ( n 1 ) , Y ∼ χ 2 ( n 2 ) X\sim \chi^2(n_1),Y\sim \chi^2(n_2) X∼χ2(n1),Y∼χ2(n2)，且 X X X 与 Y Y Y相互独立，则 F = X / n 1 Y / n 2 ∼ F ( n 1 , n 2 ) F=\frac{X/n_1}{Y/n_2} \sim F(n_1,n_2) F=Y/n2X/n1∼F(n1,n2)
在上述定理的条件下，若 F ∼ F ( n 1 , n 2 ) F\sim F(n_1,n_2) F∼F(n1,n2)，则 1 F ∼ F ( n 2 , n 1 ) \frac{1}{F} \sim F(n_2,n_1) F1∼F(n2,n1)。
分位数
设随机变量 X X X 的分布函数为 F ( x ) = P ( X ≤ x ) F(x)=P(X\le x) F(x)=P(X≤x)，对于 0 < p < 1 0<p<1 0<p<1，若有 x p x_p xp 满足 P ( X ≤ x p ) = F ( x p ) = p P(X\le x_p)=F(x_p)=p P(X≤xp)=F(xp)=p 则称 x p x_p xp 为分布 F ( x ) F(x) F(x) （或随机变量 X X X）的下侧 p p p 分位数 ；对于 0 < α < 1 0<\alpha <1 0<α<1，若有 y α y_\alpha yα 满足 P ( X > y α ) = 1 − F ( y α ) = α P(X>y_\alpha)=1-F(y_\alpha)=\alpha P(X>yα)=1−F(yα)=α 则称 y α y_\alpha yα 为分布 F ( x ) F(x) F(x) （或随机变量 X X X）的上侧 α \alpha α 分位数。
由定义可知， y α = x 1 − α ; x p = y 1 − p y_\alpha=x_{1-\alpha}; x_p=y_{1-p} yα=x1−α;xp=y1−p。
- 由 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1) 分布及 t t t 分布的对称性可知 u 1 − α = − u α , t 1 − α ( n ) = − t α ( n ) u_{1-\alpha}=-u_\alpha,t_{1-\alpha}(n)=-t_\alpha(n) u1−α=−uα,t1−α(n)=−tα(n)
- F α ( n 1 , n 2 ) = 1 F 1 − α ( n 2 , n 1 ) F_\alpha(n_1,n_2)=\frac{1}{F_{1-\alpha}(n_2,n_1)} Fα(n1,n2)=F1−α(n2,n1)1
参考文献
1\] 《应用数理统计》，施雨，西安交通大学出版社。