线代强化NO7|秩|矩阵的秩|向量组的秩|极大线性无关组|公式

矩阵的秩

矩阵A最高阶非零子式的阶数称为矩阵A的秩，记为r(A)。

零矩阵没有非零子式，我们规定它的秩为 0。

向量组的秩

极大线性无关组

设α1,α2,⋯ ,αm\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_mα1,α2,⋯,αm为一个向量组，αi1,αi2,⋯ ,αit\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_t}αi1,αi2,⋯,αit为其中线性无关的ttt个向量，如果再加上α1,α2,⋯ ,αm\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_mα1,α2,⋯,αm中除αi1,αi2,⋯ ,αit\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_t}αi1,αi2,⋯,αit之外的任何一个向量αj\alpha_jαj，新的向量组αi1,αi2,⋯ ,αit,αj\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_t}, \alpha_jαi1,αi2,⋯,αit,αj总线性相关，则称αi1,αi2,⋯ ,αit\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_t}αi1,αi2,⋯,αit为向量组α1,α2,⋯ ,αm\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_mα1,α2,⋯,αm的一个极大线性无关组。

计算向量组极大线性无关组的步骤

1. 将向量组作为列向量组成矩阵AAA （如果是行向量，则取转置后再计算）；
2. 对矩阵AAA做初等行变换，化为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中非零行的个数即为向量组的秩；
3. 在阶梯形矩阵中标出每个非零行的主元（第一个非0元），主元所在列即对应原向量组的一个极大线性无关组。

相关定理

定理 1：任一向量组和自己的极大线性无关组等价。

推论 1：向量组的任意两个极大线性无关组等价。

推论 2：等价的向量组的极大线性无关组等价。

定理 2：向量组的任意两个极大线性无关组所含的向量的个数相等。

向量组的秩

向量α1,α2,⋯ ,αm\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_mα1,α2,⋯,αm的极大线性无关组中所含向量个数称为该向量组的秩，记作r(α1,α2,⋯ ,αm)r(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m)r(α1,α2,⋯,αm)。

矩阵的秩与向量组的秩的关系

分别将矩阵AAA写成按行分块和按列分块的形式：A=[β1β2⋮βm]=[α1,α2,⋯ ,αn]A = \begin{bmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_m \end{bmatrix} = [\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n]A= β1β2⋮βm =[α1,α2,⋯,αn]。其中 α1,α2,⋯ ,αn\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_nα1,α2,⋯,αn和β1,β2,⋯ ,βm\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_mβ1,β2,⋯,βm分别为矩阵AAA的列向量组和行向量组。

我们从矩阵AAA中可以读出3个秩，它们分别是：

矩阵AAA的秩：矩阵AAA的非零子式的最高阶数；

矩阵AAA的行秩：向量组β1,β2,⋯ ,βm\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_mβ1,β2,⋯,βm（行向量组）的极大线性无关组所含向量的个数；

矩阵AAA的列秩：向量组α1,α2,⋯ ,αn\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_nα1,α2,⋯,αn（列向量组）的极大线性无关组所含向量的个数。

关于这3个秩，我们有如下的定理：

定理3：矩阵的行秩等于列秩且等于矩阵的秩。

与秩相关的公式

(1) r(A)=r(AT)=r(kA),k≠0。(1)\ r(A)=r(A^T)=r(kA),k \neq 0。(1) r(A)=r(AT)=r(kA),k=0。 (2) 设A为m×n矩阵，则r(A)≤min⁡{m,n}；(2)\ 设A为m \times n矩阵，则r(A) \leq \min\{m,n\}；(2) 设A为m×n矩阵，则r(A)≤min{m,n}； 设α1,α2,⋯ ,αn均为m维向量，则r(α1,α2,⋯ ,αn)≤min⁡{m,n}。设\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n均为m维向量，则r(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n) \leq \min\{m,n\}。设α1,α2,⋯,αn均为m维向量，则r(α1,α2,⋯,αn)≤min{m,n}。 (3) 如果向量组α1,α2,⋯ ,αn可以由向量组β1,β2,⋯ ,βm线性表示，则(3)\ 如果向量组\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n可以由向量组\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m线性表示，则(3) 如果向量组α1,α2,⋯,αn可以由向量组β1,β2,⋯,βm线性表示，则 r(α1,α2,⋯ ,αn)≤r(β1,β2,⋯ ,βm)；r(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n) \leq r(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m)；r(α1,α2,⋯,αn)≤r(β1,β2,⋯,βm)；
设A,B分别为m×n和n×k矩阵，则r(AB)≤min⁡{r(A),r(B)}。设A,B分别为m \times n和n \times k矩阵，则r(AB) \leq \min\{r(A),r(B)\}。设A,B分别为m×n和n×k矩阵，则r(AB)≤min{r(A),r(B)}。 推论1：乘以可逆矩阵不改变秩；推论1：乘以可逆矩阵不改变秩；推论1：乘以可逆矩阵不改变秩； 推论2：若A,B均为m×n矩阵，则A≅B当且仅当r(A)=r(B)；推论2：若A,B均为m \times n矩阵，则A \cong B当且仅当r(A)=r(B)；推论2：若A,B均为m×n矩阵，则A≅B当且仅当r(A)=r(B)； 推论3：等价的向量组秩相同；推论3：等价的向量组秩相同；推论3：等价的向量组秩相同； 推论4：设A,B均为m×n矩阵，则r(A±B)≤r(A)+r(B)。推论4：设A,B均为m \times n矩阵，则r(A \pm B) \leq r(A)+r(B)。推论4：设A,B均为m×n矩阵，则r(A±B)≤r(A)+r(B)。
(4) 设A,B分别为m×n和n×k矩阵，若AB=O，则r(A)+r(B)≤n。(4)\ 设A,B分别为m \times n和n \times k矩阵，若AB=O，则r(A)+r(B) \leq n。(4) 设A,B分别为m×n和n×k矩阵，若AB=O，则r(A)+r(B)≤n。 推论：设A为n阶方阵，则r(A∗)={n⇔r(A)=n1⇔r(A)=n−10⇔r(A)<n−1。推论：设A为n阶方阵，则r(A^*) = \begin{cases} n \Leftrightarrow r(A)=n \\ 1 \Leftrightarrow r(A)=n-1 \\ 0 \Leftrightarrow r(A)<n-1 \end{cases}。推论：设A为n阶方阵，则r(A∗)=⎩ ⎨ ⎧n⇔r(A)=n1⇔r(A)=n−10⇔r(A)<n−1。 (5) r(A)=r(AAT)=r(ATA)。(5)\ r(A)=r(AA^T)=r(A^T A)。(5) r(A)=r(AAT)=r(ATA)。

A必存在m个列向量线性相关

A必存在一个m阶子式不等于零
r(D)+r(A)≤m,r(B)≤0,r(B)=0,B=0r(D)+r(A)≤m,r(B)≤0,r(B)=0,B=0r(D)+r(A)≤m,r(B)≤0,r(B)=0,B=0

A通过初等（列）变换，必可以化为(Em,0)(E_{m},0)(Em,0)的形式

选C

问: 对任意BBB, r(AB)=r(A)=mr(AB) = r(A) = mr(AB)=r(A)=m.

行满秩矩阵增加列, 秩不变.
m≥r(AB)≥r(A)=mm \geq r(AB) \geq r(A) = mm≥r(AB)≥r(A)=m

解：不妨设 D 位于 A 的前 r 列中。A=(α1,α2,⋯ ,αr,αr+1,⋯ ,αn), D≠0.α1,α2,⋯ ,αr 线性无关。α1,α2,⋯ ,αr+1 线性相关，αr+1 可由 α1,α2,⋯ ,αr 线性表示。同理可得，αr+2,αr+3,⋯ ,αn 均可由 α1,α2,⋯ ,αr 表示。r(A)=r. \begin{aligned} & \text{解：不妨设 } D \text{ 位于 } A \text{ 的前 } r \text{ 列中。} \\ & A = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r, \alpha_{r+1}, \cdots, \alpha_n),\ D \neq 0. \\ & \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r \text{ 线性无关。} \\ & \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{r+1} \text{ 线性相关，} \alpha_{r+1} \text{ 可由 } \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r \text{ 线性表示。} \\ & \text{同理可得，} \alpha_{r+2}, \alpha_{r+3}, \cdots, \alpha_n \text{ 均可由 } \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r \text{ 表示。} \\ & r(A) = r. \end{aligned} 解：不妨设 D 位于 A 的前 r 列中。A=(α1,α2,⋯,αr,αr+1,⋯,αn), D=0.α1,α2,⋯,αr 线性无关。α1,α2,⋯,αr+1 线性相关，αr+1 可由 α1,α2,⋯,αr 线性表示。同理可得，αr+2,αr+3,⋯,αn 均可由 α1,α2,⋯,αr 表示。r(A)=r.

计算矩阵的秩，初等行和初等列变换均可。(12020−4−1t510−2)→(1200−4−40t+250−2−2)→(120011003−t000),3−t=0  ⟹  t=3 \begin{aligned} &\text{计算矩阵的秩，初等行和初等列变换均可。} \\ &\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & -4 \\ -1 & t & 5 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & -4 \\ 0 & t+2 & 5 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3-t \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad 3-t=0 \implies t=3 \end{aligned} 计算矩阵的秩，初等行和初等列变换均可。 12−1120t00−45−2 → 10002−4t+2−20−45−2 → 10002100013−t0 ,3−t=0⟹t=3

解:α=1 时, A=(121121121), r(A)=1, r(A)+r(B)≤3, r(B)≤2α=−3 时, A=(12−31−21−321), r(A)=2, r(B)≤1, B非零⇒r(B)≥1∴r(B)=1. 选(C) \begin{aligned} & \text{解:} \\ & \alpha=1\ 时, \ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix},\ r(A)=1,\ r(A)+r(B)\leq 3,\ r(B)\leq 2 \\ & \alpha=-3\ 时, \ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \\ -3 & 2 & 1 \end{pmatrix},\ r(A)=2,\ r(B)\leq 1,\ B\text{非零}\Rightarrow r(B)\geq 1 \\ & \therefore r(B)=1.\ \text{选(C)} \end{aligned} 解:α=1 时, A= 111222111 , r(A)=1, r(A)+r(B)≤3, r(B)≤2α=−3 时, A= 11−32−22−311 , r(A)=2, r(B)≤1, B非零⇒r(B)≥1∴r(B)=1. 选(C)

【小结】如果题目中直接或间接给出了两个矩阵相乘等于零的条件，一般来说，我们可以考虑使用公式r(A)+r(B)≤nr(A)+r(B)≤nr(A)+r(B)≤n。
AB=0, A,B∈Pn×n① B的列向量为AX=0的解.② r(A)=1, r(B)=2,1,0③ r(A)=0, A=0, B任意④ r(A)=3, A通过初等行变换一定能化为EEx=0, x=0 \begin{aligned} & AB=0,\ A,B \in P^{n \times n} \\ & \text{① } B\text{的列向量为}AX=0\text{的解}. \\ & \text{② } r(A)=1,\ r(B)=2,1,0 \\ & \text{③ } r(A)=0,\ A=0,\ B\text{任意} \\ & \text{④ } r(A)=3,\ A\text{通过初等行变换一定能化为}E \\ & \quad Ex=0,\ x=0 \\ \end{aligned} AB=0, A,B∈Pn×n① B的列向量为AX=0的解.② r(A)=1, r(B)=2,1,0③ r(A)=0, A=0, B任意④ r(A)=3, A通过初等行变换一定能化为EEx=0, x=0

AB=0r(A)+r(B)=n=4r(A)=2, r(A∗)=0 \begin{aligned} & AB = 0 \\ & r(A) + r(B) = n = 4 \\ & r(A) = 2,\ r(A^*) = 0 \\ \end{aligned} AB=0r(A)+r(B)=n=4r(A)=2, r(A∗)=0

解: (1) r(A)=r(ααT+ββT)≤r(ααT)+r(ββT)≤r(α)+r(β)≤1+1=2(2) 设α=kβ, r(A)=r((kβ)⋅(kβ)T+ββT)=r((k2+1)ββT)=r(ββT)≤r(β)≤1<2 \begin{aligned} & \text{解: (1) } r(A) = r(\alpha\alpha^T + \beta\beta^T) \leq r(\alpha\alpha^T) + r(\beta\beta^T) \leq r(\alpha) + r(\beta) \leq 1 + 1 = 2 \\ & (2) \text{ 设} \alpha = k\beta, \ r(A) = r((k\beta) \cdot (k\beta)^T + \beta\beta^T) = r((k^2 + 1)\beta\beta^T) = r(\beta\beta^T) \\ & \quad \leq r(\beta) \leq 1 < 2 \end{aligned} 解: (1) r(A)=r(ααT+ββT)≤r(ααT)+r(ββT)≤r(α)+r(β)≤1+1=2(2) 设α=kβ, r(A)=r((kβ)⋅(kβ)T+ββT)=r((k2+1)ββT)=r(ββT)≤r(β)≤1<2

r(AB)=r(E)=m.m=r(AB)≤r(A)≤m⇒r(A)=mm=r(AB)≤r(B)≤m⇒r(B)=m选A. \begin{aligned} & r(AB) = r(E) = m. \\ & m = r(AB) \leq r(A) \leq m \quad \Rightarrow r(A) = m \\ & m = r(AB) \leq r(B) \leq m \quad \Rightarrow r(B) = m \\ & \text{选A.} \end{aligned} r(AB)=r(E)=m.m=r(AB)≤r(A)≤m⇒r(A)=mm=r(AB)≤r(B)≤m⇒r(B)=m选A.
若BA=E, E为n阶单位矩阵,则r(A)=r(B)=n. \text{若} BA = E, \ E \text{为} n \text{阶单位矩阵}, \text{则} r(A) = r(B) = n. 若BA=E, E为n阶单位矩阵,则r(A)=r(B)=n.

【小结】当题目中需要讨论两个矩阵乘积的秩r(AB)时，首先考虑矩阵中有没有可逆矩阵，如果有，则运用公式：乘以可逆矩阵不改变秩；如果没有，则使用公式r(AB)≤min{r(A),r(B)}，根据需要，这个公式我们使用的形式一般是r(AB)≤r(A)或r(AB)≤r(B)。

结论: 若AB=C,则① C的第i个列向量可由A的第i个列向量线性表示, 表示的分量为B的第i个列向量② C的第i个行向量可由B的第i个行向量线性表示, 表示的分量为A的第i个行向量 \begin{aligned} & \text{结论: 若} AB = C, \text{则} \\ & \text{① } C\text{的第}i\text{个列向量可由}A\text{的第i个列向量线性表示, 表示的分量为}B\text{的第}i\text{个列向量} \\ & \text{② } C\text{的第}i\text{个行向量可由}B\text{的第i个行向量线性表示, 表示的分量为}A\text{的第}i\text{个行向量} \\ \end{aligned} 结论: 若AB=C,则① C的第i个列向量可由A的第i个列向量线性表示, 表示的分量为B的第i个列向量② C的第i个行向量可由B的第i个行向量线性表示, 表示的分量为A的第i个行向量

A：AB的列向量可由A的列向量线性表示
(A) r(A AB)=r(A 0)=r(A)(B) r(ABA)=r(A0)=r(A)(D) r(A B)=r((A B)T)=r(ATBT) \begin{aligned} & \text{(A) } r(A\ AB) = r(A\ 0) = r(A) \\ & \text{(B) } r\begin{pmatrix} A \\ BA \end{pmatrix} = r\begin{pmatrix} A \\ 0 \end{pmatrix} = r(A) \\ & \text{(D) } r(A\ B) = r((A\ B)^T) = r\begin{pmatrix} A^T \\ B^T \end{pmatrix} \\ \end{aligned} (A) r(A AB)=r(A 0)=r(A)(B) r(ABA)=r(A0)=r(A)(D) r(A B)=r((A B)T)=r(ATBT)

【小结】①左乘列满秩矩阵或者右乘行满秩矩阵，矩阵的秩不改变，已知Am×nBn×s=Cm×s，若r(A)=n，则r(B)=r(C)，若r(B)=n，则r(A)=r(C)。②两块的分块矩阵的乘法拆分要掌握，即(A AB)=A(E B), (ABA)=(EB)A。但需注意的是(A BA)≠(E B)A, (AAB)≠A(EB)，因为左矩阵的列数不等于右矩阵的行数，不满足矩阵乘法规则。③四块的分块矩阵的乘法拆分要掌握，思想是对初等矩阵的性质（左行右列）进行扩展。第一、(AABOAAT)的第1列的−B倍加到第2列就可化为(AOOAAT)，故(AABOAAT)(E−BOE)=(AOOAAT)。 \begin{aligned} & \text{【小结】①左乘列满秩矩阵或者右乘行满秩矩阵，矩阵的秩不改变，} \\ & \text{已知} A_{m \times n}B_{n \times s} = C_{m \times s} \text{，若} r(A) = n \text{，则} r(B) = r(C) \text{，若} r(B) = n \text{，则} r(A) = r(C) \text{。} \\ & \text{②两块的分块矩阵的乘法拆分要掌握，即} (A\ AB) = A(E\ B),\ \begin{pmatrix} A \\ BA \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E \\ B \end{pmatrix} A \text{。} \\ & \text{但需注意的是} (A\ BA) \neq (E\ B)A,\ \begin{pmatrix} A \\ AB \end{pmatrix} \neq A\begin{pmatrix} E \\ B \end{pmatrix} \text{，因为左矩阵的列数不等于右} \\ & \text{矩阵的行数，不满足矩阵乘法规则。} \\ & \text{③四块的分块矩阵的乘法拆分要掌握，思想是对初等矩阵的性质（左行右列）进行扩展。} \\ & \text{第一、} \begin{pmatrix} A & AB \\ O & AA^T \end{pmatrix} \text{的第1列的}-B\text{倍加到第2列就可化为} \begin{pmatrix} A & O \\ O & AA^T \end{pmatrix} \text{，} \\ & \text{故} \begin{pmatrix} A & AB \\ O & AA^T \end{pmatrix}\begin{pmatrix} E & -B \\ O & E \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & O \\ O & AA^T \end{pmatrix} \text{。} \\ \end{aligned} 【小结】①左乘列满秩矩阵或者右乘行满秩矩阵，矩阵的秩不改变，已知Am×nBn×s=Cm×s，若r(A)=n，则r(B)=r(C)，若r(B)=n，则r(A)=r(C)。②两块的分块矩阵的乘法拆分要掌握，即(A AB)=A(E B), (ABA)=(EB)A。但需注意的是(A BA)=(E B)A, (AAB)=A(EB)，因为左矩阵的列数不等于右矩阵的行数，不满足矩阵乘法规则。③四块的分块矩阵的乘法拆分要掌握，思想是对初等矩阵的性质（左行右列）进行扩展。第一、(AOABAAT)的第1列的−B倍加到第2列就可化为(AOOAAT)，故(AOABAAT)(EO−BE)=(AOOAAT)。
第二、(AOBAAT)的第1行的−B倍加到第2行就可化为(AOOAT),故(EO−BE)(AOBAAT)=(AOOAT)。但需注意的是(AOABAT)是不一定能化为(AOOAT)的，(ABAOAAT)也是不一定能化为(AOOAAT)的。因为做行变换时是左乘，做列变换时是右乘，也满足"左行右列"。 \begin{aligned} & \text{第二、} \begin{pmatrix} A & O \\ BA & A^T \end{pmatrix} \text{的第1行的}-B\text{倍加到第2行就可化为} \begin{pmatrix} A & O \\ O & A^T \end{pmatrix}, \\ & \text{故} \begin{pmatrix} E & O \\ -B & E \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & O \\ BA & A^T \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & O \\ O & A^T \end{pmatrix} \text{。} \\ & \text{但需注意的是} \begin{pmatrix} A & O \\ AB & A^T \end{pmatrix} \text{是不一定能化为} \begin{pmatrix} A & O \\ O & A^T \end{pmatrix} \text{的，} \begin{pmatrix} A & BA \\ O & AA^T \end{pmatrix} \text{也是不一定能化} \\ & \text{为} \begin{pmatrix} A & O \\ O & AA^T \end{pmatrix} \text{的。因为做行变换时是左乘，做列变换时是右乘，也满足"左行右列"。} \\ \end{aligned} 第二、(ABAOAT)的第1行的−B倍加到第2行就可化为(AOOAT),故(E−BOE)(ABAOAT)=(AOOAT)。但需注意的是(AABOAT)是不一定能化为(AOOAT)的，(AOBAAAT)也是不一定能化为(AOOAAT)的。因为做行变换时是左乘，做列变换时是右乘，也满足"左行右列"。

(A) r(AOOATA)=r(A)+r(ATA)=r(A)+r(A)=2r(A)(B) r(AABOAT)=r(AAB−ABOAT)=r(AOOAT)=2r(A)或 r(AABOAT)=r((AABOAT)(E−BOE))=r(AOOAT)=2r(A)(D) r(AOBAAT)=r(AOBA−BAAT)=r(AOOAT)=2r(A)故选C. \begin{aligned} & \text{(A) } r\begin{pmatrix} A & O \\ O & A^TA \end{pmatrix} = r(A) + r(A^TA) = r(A) + r(A) = 2r(A) \\ & \text{(B) } r\begin{pmatrix} A & AB \\ O & A^T \end{pmatrix} = r\begin{pmatrix} A & AB - AB \\ O & A^T \end{pmatrix} = r\begin{pmatrix} A & O \\ O & A^T \end{pmatrix} = 2r(A) \\ & \text{或 } r\begin{pmatrix} A & AB \\ O & A^T \end{pmatrix} = r\left( \begin{pmatrix} A & AB \\ O & A^T \end{pmatrix}\begin{pmatrix} E & -B \\ O & E \end{pmatrix} \right) = r\begin{pmatrix} A & O \\ O & A^T \end{pmatrix} = 2r(A) \\ & \text{(D) } r\begin{pmatrix} A & O \\ BA & A^T \end{pmatrix} = r\begin{pmatrix} A & O \\ BA - BA & A^T \end{pmatrix} = r\begin{pmatrix} A & O \\ O & A^T \end{pmatrix} = 2r(A) \\ & \text{故选C.} \end{aligned} (A) r(AOOATA)=r(A)+r(ATA)=r(A)+r(A)=2r(A)(B) r(AOABAT)=r(AOAB−ABAT)=r(AOOAT)=2r(A)或 r(AOABAT)=r((AOABAT)(EO−BE))=r(AOOAT)=2r(A)(D) r(ABAOAT)=r(ABA−BAOAT)=r(AOOAT)=2r(A)故选C.

公式
r(MOON)=r(M)+r(N) r\begin{pmatrix} M & O \\ O & N \end{pmatrix} = r(M) + r(N) r(MOON)=r(M)+r(N)

考虑矩阵(ABAOAAT)，因BA的列不一定能由A的列线性表示，故不一定能化为(AOOAAT)漏洞：BA的行能否由AAT的行表示？试证：r(ABAOATA)=2r(A).证：若α为Ax=0的解，则Aα=0，ATAα=AT⋅0=0，故α为ATAx=0的解若α为ATAx=0的解，则ATAα=0，αTATAα=αT0=0，(Aα)TAα=0设Aα=(x1,x2,x3)T，则(Aα)TAα=(x1,x2,x3)(x1x2x3)=x12+x22+x32=0故x1=x2=x3=0，即Aα=0，α为Ax=0的解。因此Ax=0和ATAx=0同解即ATA的行向量与A的行向量等价又BA的行向量可由A的行向量线性表示，故BA的行向量可由ATA的行向量线性表示因此r(ABAOATA)=r(AOOATA)=2r(A) \begin{aligned} & \text{考虑矩阵} \begin{pmatrix} A & BA \\ O & A A^T \end{pmatrix}，\text{因} BA \text{的列不一定能由} A \text{的列线性表示，故不一定能化为} \begin{pmatrix} A & O \\ O & AA^T \end{pmatrix} \\ & \text{漏洞：} BA \text{的行能否由} AA^T \text{的行表示？} \\ & \text{试证：} r\begin{pmatrix} A & BA \\ O & A^T A \end{pmatrix} = 2r(A). \\ & \text{证：若} \alpha \text{为} Ax=0 \text{的解，则} A\alpha=0，A^T A\alpha = A^T \cdot 0 = 0，\text{故} \alpha \text{为} A^T A x=0 \text{的解} \\ & \text{若} \alpha \text{为} A^T A x=0 \text{的解，则} A^T A\alpha=0，\alpha^T A^T A\alpha = \alpha^T 0 = 0，(A\alpha)^T A\alpha = 0 \\ & \text{设} A\alpha = (x_1, x_2, x_3)^T，\text{则}(A\alpha)^T A\alpha = (x_1, x_2, x_3)\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 0 \\ & \text{故} x_1 = x_2 = x_3 = 0，\text{即} A\alpha = 0，\alpha \text{为} Ax=0 \text{的解。因此} Ax=0 \text{和} A^T A x=0 \text{同解} \\ & \text{即} A^T A \text{的行向量与} A \text{的行向量等价} \\ & \text{又} BA \text{的行向量可由} A \text{的行向量线性表示，故} BA \text{的行向量可由} A^T A \text{的行向量线性表示} \\ & \text{因此} r\begin{pmatrix} A & BA \\ O & A^T A \end{pmatrix} = r\begin{pmatrix} A & O \\ O & A^T A \end{pmatrix} = 2r(A) \\ \end{aligned} 考虑矩阵(AOBAAAT)，因BA的列不一定能由A的列线性表示，故不一定能化为(AOOAAT)漏洞：BA的行能否由AAT的行表示？试证：r(AOBAATA)=2r(A).证：若α为Ax=0的解，则Aα=0，ATAα=AT⋅0=0，故α为ATAx=0的解若α为ATAx=0的解，则ATAα=0，αTATAα=αT0=0，(Aα)TAα=0设Aα=(x1,x2,x3)T，则(Aα)TAα=(x1,x2,x3) x1x2x3 =x12+x22+x32=0故x1=x2=x3=0，即Aα=0，α为Ax=0的解。因此Ax=0和ATAx=0同解即ATA的行向量与A的行向量等价又BA的行向量可由A的行向量线性表示，故BA的行向量可由ATA的行向量线性表示因此r(AOBAATA)=r(AOOATA)=2r(A)