文章目录
- [傅里叶变换家族*The FT Family*](#傅里叶变换家族The FT Family)
- 傅里叶变换*FT*
- Sinc插值
- 离散时域傅里叶变换*DTFT*
- 离散傅里叶变换
- Dirichlet插值
傅里叶变换家族The FT Family
为什么傅里叶变换要单独出本教材，仔细看看傅里叶变换家族就知道了。
Dirichlet插值 采样 Sinc插值 傅里叶变换 矩形窗口 离散傅里叶变换 离散时域傅里叶变换 时间模拟信号 采样信号 角频率信号(连续频谱) 离散频谱 频域信号（连续频谱）
傅里叶变换FT
频率信号的自变量是频率 F F F，频域信号就是：
X a ( F ) = ∫ − ∞ ∞ x a ( t ) e − j 2 π F t d t X_a(F)=\int_{-\infty}^{\infty}x_a(t)e^{-j2\pi Ft}\mathrm{d} t Xa(F)=∫−∞∞xa(t)e−j2πFtdt
时间模拟信号自变量就是时间:
x a ( t ) = ∫ − ∞ ∞ X F ( t ) e j 2 π F t d F x_a(t)=\int_{-\infty}^{\infty}X_F(t)e^{j2\pi Ft}\mathrm{d} F xa(t)=∫−∞∞XF(t)ej2πFtdF
傅里叶变换就是这两个函数相互转换。举个例子，时域信号为:
x a ( t ) = s i n ( t ) x_a(t)=sin(t) xa(t)=sin(t)
将其转为频率信号就是：
X a ( F ) = 1 2 j [ δ ( F − 1 2 π ) − δ ( F + 1 2 π ) ] X_a(F)=\frac{1}{2j}\Bigl[\delta\!\Bigl(F-\frac{1}{2\pi}\Bigr)-\delta\!\Bigl(F+\frac{1}{2\pi}\Bigr)\Bigr] Xa(F)=2j1[δ(F−2π1)−δ(F+2π1)]
当然，对于这种周期函数，频率在大多数取值下都是0，所以其频域函数图像就是若干个点，这些点叫做冲激。
Sinc插值
从图中可以看到Sinc插值就是将采样信息还原为时间序列函数，举个例子，某采样数据周期为 π \pi π，具体数据为：
( 0 , 1 ) , ( π 4 , 1.5 ) , ( π 2 , 2 ) , ( 3 π 4 , 1.5 ) , ( π , 1 ) , ⋯ (0,1),(\frac\pi4,1.5),(\frac\pi2,2),(\frac{3\pi}{4},1.5),(\pi,1),\cdots (0,1),(4π,1.5),(2π,2),(43π,1.5),(π,1),⋯
Sinc插值后还原的函数为:
x a ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ x k sin ( 2 t − π k ) 2 t − π k x_a(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x_k\; \frac{\sin\!\bigl(\,2t-\pi k\,\bigr)} {\,2t-\pi k\,} xa(t)=k=−∞∑∞xk2t−πksin(2t−πk)
公式里的 k k k是采样点的序号.所以这个公式要迭代所有采样点。Sinc函数就是大学微积分第一课里的经典函数：
s i n c ( x ) = sin x x \mathrm{sinc}(x)=\frac{\sin x}x sinc(x)=xsinx
所以上面的式子也可以写成:
x a ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ x k s i n c ( 2 t − π k ) x_a(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x_k\; \mathrm{sinc} (\,2t-\pi k\,) xa(t)=k=−∞∑∞xksinc(2t−πk)
离散时域傅里叶变换DTFT
用上面的例子，某采样数据周期为 π \pi π，具体数据为：
( 0 , 1 ) , ( π 4 , 1.5 ) , ( π 2 , 2 ) , ( 3 π 4 , 1.5 ) , ( π , 1 ) , ⋯ (0,1),(\frac\pi4,1.5),(\frac\pi2,2),(\frac{3\pi}{4},1.5),(\pi,1),\cdots (0,1),(4π,1.5),(2π,2),(43π,1.5),(π,1),⋯
离散时域傅立叶变换将其变成角频率为自变量的函数，也就是角频率信号。结果如下：
χ ( ω ) = 2 π ∑ k = 0 3 X [ k ] ∑ m = − ∞ ∞ δ ( ω − 2 π 4 k − 2 π m ) \chi(\omega)=2\pi\sum_{k=0}^{3}X[k]\, \sum_{m=-\infty}^{\infty}\delta\!\Bigl(\omega-\frac{2\pi}{4}k-2\pi m\Bigr) χ(ω)=2πk=0∑3X[k]m=−∞∑∞δ(ω−42πk−2πm)
角频率 ω \omega ω其实就是为了看得舒服，它和频率的关系如下:
ω = 2 π f \omega=2\pi f ω=2πf
离散傅里叶变换
依旧用上面的例子，某采样数据周期为 π \pi π，具体数据为：
( 0 , 1 ) , ( π 4 , 1.5 ) , ( π 2 , 2 ) , ( 3 π 4 , 1.5 ) , ( π , 1 ) , ⋯ (0,1),(\frac\pi4,1.5),(\frac\pi2,2),(\frac{3\pi}{4},1.5),(\pi,1),\cdots (0,1),(4π,1.5),(2π,2),(43π,1.5),(π,1),⋯
离散傅立叶变换将其变成离散频谱。结果如下：
X [ k ] = ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] e − j 2 π N k n , k = 0 , 1 , ... , N − 1. X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]\;e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}, \qquad k=0,1,\dots ,N-1 . X[k]=n=0∑N−1x[n]e−jN2πkn,k=0,1,...,N−1.
代入采样点就是：
X [ 0 ] = 1 + 1.5 + 2 + 1.5 = 6 , X [ 1 ] = 1 + 1.5 e − j π / 2 + 2 e − j π + 1.5 e − j 3 π / 2 = − 1 , X [ 2 ] = 1 + 1.5 e − j π + 2 e − j 2 π + 1.5 e − j 3 π = 0 , X [ 3 ] = 1 + 1.5 e − j 3 π / 2 + 2 e − j 3 π + 1.5 e − j 9 π / 2 = − 1. \begin{aligned} X[0]&=1+1.5+2+1.5=6,\\ X[1]&=1+1.5e^{-j\pi/2}+2e^{-j\pi}+1.5e^{-j3\pi/2} =-1,\\ X[2]&=1+1.5e^{-j\pi}+2e^{-j2\pi}+1.5e^{-j3\pi}=0,\\ X[3]&=1+1.5e^{-j3\pi/2}+2e^{-j3\pi}+1.5e^{-j9\pi/2} =-1. \end{aligned} X[0]X[1]X[2]X[3]=1+1.5+2+1.5=6,=1+1.5e−jπ/2+2e−jπ+1.5e−j3π/2=−1,=1+1.5e−jπ+2e−j2π+1.5e−j3π=0,=1+1.5e−j3π/2+2e−j3π+1.5e−j9π/2=−1.
Dirichlet插值
Dirichlet插值就是讲离散频率转为角频率信号，拿上面离散傅里叶变换后的数据来说，周期为 π \pi π：
( 0 , 6 ) , ( π 4 , − 1 ) , ( π 2 , 0 ) , ( 3 π 4 , − 1 ) , ( π , 6 ) , ⋯ (0,6),(\frac\pi4,-1),(\frac\pi2,0),(\frac{3\pi}{4},-1),(\pi,6),\cdots (0,6),(4π,−1),(2π,0),(43π,−1),(π,6),⋯
Dirichlet插值后的结果为：
χ ( ω ) = 6 sin ( 2 ω ) sin ( ω / 2 ) − sin ( 2 ( ω − π / 2 ) ) sin ( ( ω − π / 2 ) / 2 ) − sin ( 2 ( ω − 3 π / 2 ) ) sin ( ( ω − 3 π / 2 ) / 2 ) \chi(\omega)=6\,\frac{\sin(2\omega)}{\sin(\omega/2)} -\frac{\sin\!\bigl(2(\omega-\pi/2)\bigr)}{\sin\!\bigl((\omega-\pi/2)/2\bigr)} -\frac{\sin\!\bigl(2(\omega-3\pi/2)\bigr)}{\sin\!\bigl((\omega-3\pi/2)/2\bigr)} χ(ω)=6sin(ω/2)sin(2ω)−sin((ω−π/2)/2)sin(2(ω−π/2))−sin((ω−3π/2)/2)sin(2(ω−3π/2))