2016年五一杯数学建模
B题 能源总量控制下的城市工业企业协调发展问题
原题再现
能源是国民经济的重要物质基础,是工业企业发展的动力，但是过度的能源消耗，会破坏资源和环境，不利于经济的可持续发展。目前我国正处于经济转型的关键时期，而经济的发展离不开能源，国家十三五发展规划中明确提出了要控制能源的消费。对每个工业企业来讲，能源消耗对工业企业的产值、利税等具有直接的影响，同时工业企业的自身发展也有利于社会稳定。如何在控制能源消耗总量的条件下，为工业企业合理配置能源，使得工业企业充分利用能源，并获得较高的产值和利税，是一个具有现实意义的问题。
附件是某城市 C 上一年度工业企业能源消耗、产值、利税、员工人数的统计数据。请根据这些数据，分析解决以下问题：
问题 1：对城市 C 的产业结构及能源消费特征进行定量分析，并建立数学模型对城市 C 的工业企业发展水平进行综合评价。
问题 2：假设城市 C 要求本年度能源消耗总量比上一年度下降 5%，请分别建立数学模型，给出使该市的工业企业产值、利税、从业人员受到的影响最小的各工业企业能源分配方案。
问题 3： 如果城市 C 要求本年度能源消耗总量比上一年度下降 5%，请建立数学模型，给出城市 C 的各工业企业能源分配方案，使该市的工业企业产值与利税、从业人员受到的综合影响最小。
问题 4：如果城市 C 要求在未来 2 年，每年能源消耗总量比上一年度下降5%，请建立数学模型，给出该市的各工业企业能源分配方案，使得工业企业产值总量增速不低于 8%，并就这一方案对城市 C 未来 2 年的利税水平进行定量评估。
问题 5：结合上述研究，给城市 C 的能源管理部门写一封信，谈谈如何在能源总量控制的前提下，对城市工业企业进行合理的能源分配，以提高能源利用效率和质量，并阐述你的政策建议。
整体求解过程概述(摘要)
本文主要研究了能源总量控制下的城市工业企业协调发展问题。通过建立综合评价、线性规划以及多目标规划模型分别求解出了不同条件下的能源分配方案，以实现能源利用效率和质量的提高。
问题一中，我们对产业结构及能源消费特征二者建立评价指标体系，采用熵权法求得各指标权重，利用线性加权综合法，得到综合能耗对产业结构影响最显著的结论，并将产业结构分成重工业、轻工业和化学工业三类，将能源消费特征分成五个等级。我们定义工业企业发展水平与现价产值、利税、人均产值比、产值能耗比有关，建立城市 C的工业企业发展水平综合评价模型，使用模糊综合评判法得出城市 C 的工业企业发展水平为中等。
问题二中，由问题一中得到的能源消费特征企业分级表得到各级企业指标的数据总量，利用最小二乘法对数据拟合，得出三个指标均与综合能耗近似为线性关系。然后分别建立产值、利税、从业人员的线性规划模型，求解出对应最佳的能源分配方案。方案显示，降低产业结构相对落后的企业能源分配比重，提高产业结构相对先进企业的能源分配比重，从而使得能源利用率得到提高。
问题三中，参考问题一中得到的能源消费特征企业分级表和问题二中得到的三个指标的拟合曲线，分别求出三个指标的加权系数，建立多目标模糊线性规划模型，求出最优解，得出使城市 C 的工业企业产值、利税、从业人员受到的综合影响最小的能源分配方案。结果显示，能源分配的调动幅度大幅增加，主要的方向为将 A 类企业的能源大幅度调配给 B、D 类企业，从而提高能源的利用率。
问题四中，在工业企业产值总量增速不低于 8%和每年能耗总量比上一年度下降 5%的前提下，考虑从业人员影响度最小的因素，以求利税最大值（最小值）为目标函数建立线性分析模型，通过求解得到未来两年分配给 A、B、D、E 类企业能源总量减少，C类企业能源总量增多的方案，建立数据包络分析的模型及算法对未来两年的利税水平进行定量评估，发现 C 城市的利税过高，应当适量降低利税比例以提高生产效益，给予企业更多的生产动力。
问题五中，我们结合实际的工业企业能源分配环境，在能源总量控制的前提下，参考问题一至问题四所得结论，发现实行优化产业结构、强化监督管理、进行利税改革、倡导节能减排等措施，能够实现能源利用效率和质量的提高，实现城市的可持续发展。
模型假设：
1. 假设附件中提供的数据真实可靠。
2. 假设短时间内城市 C 的产业结构不变。
3. 假设分配给各企业的能源全部被消耗。
4. 假设每年的各个企业各项指标的变化不影响下一年各项指标的变化。
5. 假设综合能耗只受企业的现价产值、利税、从业人数三个指标的影响。
问题分析：
问题一的分析
产业结构及能源消费特征是影响工业企业发展水平的重要因素，不合理的产业结构和能源消费特征使得工业发展水平较弱，降低了能源利用率，不利于城市的可持续发展。我们假设能源消费特征专指能源强度，即单位产值需要消耗的能源（产值-能耗比）。通过查阅相关资料与数据分析，可以得到城市 C 的产业结构与其企业能源消耗、产值、利税、员工人数有关；工业企业发展水平与现价产值、利税、人均产值、产值-能耗比有关。
我们发现大量的数据中，其指标的类型及单位不相同，且存在异常值，需要对数据进行预处理，即数据的标准化与剔除异常值。首先，我们建立与待求量相关的评价指标，引入指标向量，建立评价指标体系，用熵权法确定评价指标权重，用线性加权综合法对产业结构与能源消费特征进行定性分析。之后，建立综合评价模型，运用模糊综合评判法求解，对工业企业发展水平进行综合评价。
问题二的分析
通过查阅资料、数据处理与分析讨论，可以得出工业企业产值、利税、从业人员与能源消费特征的关系，从问题一求得能源消费特征的等级分类，将各工业企业按等级分类。由城市 C 年度能源消耗总量比上一年度下降 5%，可以得到不同等级的能源消费特的变化情况及分配方案，其对应着各个等级工业企业产值、利税、从业人员的分配方案。对此，可以采用最小二乘法进行拟合，得出拟合曲线，再由此建立线性规划模型，建立目标函数，确定约束条件，并用 MATLAB 软件对其求解，分别得到三个模型的最优解，进而求得工业企业产值、利税、从业人员受到影响最小的各工业企业能源分配方案。
问题三的分析
与问题二类似，利用问题一求得的能源消费特征的等级分类，由城市 C 年度能源消耗总量比上一年度下降 5%，可以得到不同等级的能源消费特征的变化情况及分配方案，其对应着各个等级工业企业产值、利税、从业人员的分配方案。求三个指标的加权系数，以此来反映不同目标间的重要程度，将多目标模型转化为单一模型，进而建立模糊的多目标线性规划模型，建立目标函数与约束条件，最终对模型进行求解，得到最优解，求得工业企业产值、利税、从业人员受到的综合影响最小的各工业企业能源分配方案。
问题四的分析
能源在国民经济中居于十分重要的地位。它是我国社会主义现代化建设的三大制约因素之一。把有限的能源产品进行合理的分配,是保证社会主义再生产顺利进行的重要手段之一。问题四要求在工业企业产值总量增速不低于 8%的条件下给出未来两年的能源分配方案，并就这一方案对未来两年的利税水平进行定量评估。该问题要求我们建立一个预测评估的模型。我们结合工业企业的利税要在分配方案下有所增长的实际要求，确定目标函数为求利税最大值（最小值）的关于能耗的近似的一次函数，用题给要求和一些不可抗拒的外界影响作为限定条件，即可求得预期能源分配方案。对利税水平的定量评估需要排除主观因素，数据包络分析的模型由于具有很强的客观性被我们采用。由以上的分析得到能源分配方案，建立模型进行多指标综合预测评估，基于综合评价的结果，可对利税水平进行定量评估。
问题五的分析
综合利用问题一到问题四的模型与评价分析结果，要求向能源管理部门写信。能源总量控制的前提告诉我们城市 C 的综合能耗的总量是受控制的。那么在能耗一定的情况下，对各个企业的能源分配进行合理调整，改变工业企业产值、利税、从业人员等指标，进而可以从一定程度上提高能源利用效率和质量。能源管理部门应该注重优化产业结构，进行利税改革，加强政府及相关部门的监督管理，提高能源利用率，实现城市的可持续发展。
模型的建立与求解整体论文缩略图
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程序代码：(代码和文档not free)
bash
%熵权法计算权重
x= xlsread('熵值法计算产值结构权重.xls');
y=[]
[m,n]=size(x);
for i=1:n
y(:,i)=x(:,i)/sum([x(:,i)])
end
for l=1:n
s(1,l)=0;
for j=1:m
p(1,l)=y(j,l)*log(y(j,l))
s(1,l)=s(1,l)+p(1,l)
end
end
k=(log(m))^(-1)
e=-k*s
h=ones(1,n)-e
w=h/sum(h)
sum(w)
g=y*w'
%模糊综合分析法
A=[0.0471 0.1211 0.0011 0.8307]
R=[380/2725 1323/2725 500/2725 492/2725 30/2725
23/2725 906/2725 777/2725 959/2725 60/2725
71/2725 919/2725 1426/2725 209/2725 100/2725
393/2725 550/2725 1180/2725 536/2725 66/2725]
B=A*R
%线性拟合的最小二乘法
n=1180;m=1;
y=xlsread('问题 2.xls',5);
y(:,[2,3,4])=[];
x=xlsread('问题 2.xls',5);
x(:,[1,2,3])=[];
plot(x,y,'r+')
title('C 类企业产值与能耗关系图');
z=x;
x=[ones(n,1),x];
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x);
b,bint,stats
%求解单目标最优解
f=[0.6356,1.9482, 42.4734,1.8812,5.9489];
a=[1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
-1.8353 0 0 0 0
0 -6.7273 0 0 0
0 0 -171.5347 0 0
0 0 0 -5.9472 0
0 0 0 0 -31.4707]
b=[2540.986965
383.7450844
128.9853383
158.8601022
81.60440757
-7661.282429
-13244.29764
-27738.55631
-20520.77652
-26820.03443];
aeq=[1,1,1,1,1];
beq=3129.472803;
[x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(5,1));
x,y=-y
bash
f=[-0.6356,-1.9482,-42.4734,-1.8812,-5.9489];
a=[-1.8351 -6.7273 -171.5347 -5.9472 -31.4707];
b=[-103676.3528];
aeq=[1,1,1,1,1];
beq=3129.472803;
[x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(5,1));
x,y=-y
%多元线性回归
a=[-1.8351 -6.7273 -171.5347 -5.9472 -31.4707];
b=[-112140.6918];
aeq=[1,1,1,1,1];
beq=2972.999162;
c1=[0.6356 1.9482 42.4734 1.8812 5.9489];
c2=[0.0038 0.0048 0.0861 0.0033 0.0374];
fun=@(x)[c1;c2]*x;
[x1,g1]=linprog(c1,a,b,aeq,beq,zeros(5,1))
[x2,g2]=linprog(c2,a,b,aeq,beq,zeros(5,1))
g3=[g1;g2];
[x,fval]=fgoalattain(fun,rand(5,1),g3,abs(g3),a,b,aeq,beq,zeros(5,1))
%包络分析模型
x=[96142.56843 103991.7371 129436.4094];
y=[21907.95036 25246.33086 31461.53819];
n=size(x',1);
m=size(x,1);
s=size(y,1);
A=[-x',y'];
b=zeros(n,1);
LB=zeros(s+m,1);
UB=[];
for i=1:n;
f=[zeros(1,m) -y(:,i)'];
Aeq=[x(:,i)',zeros(1,s)];
beq=1;
w(:,i)=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB);
E(i,i)=y(:,i)'*w(m+1:m+s,i);
end
w
E
omega=w(1:m,:)
mu=w(m+1:m+s,:)
x1=linspace(0,8);
y11=46.1194+1.8353*x1;
plot(x1,y11);