leetCode 216.组合总和 III + 回溯算法 + 剪枝 + 图解 + 笔记

找出所有相加之和为 n的 k个数的组合，且满足下列条件：

只使用数字1到9
每个数字 最多使用一次

返回 所有可能的有效组合的列表 。该列表不能包含相同的组合两次，组合可以以任何顺序返回

示例 1:

输入: k = 3, n = 7
输出: [[1,2,4]]
解释:
1 + 2 + 4 = 7
没有其他符合的组合了。

示例 2:

输入: k = 3, n = 9
输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]
解释:
1 + 2 + 6 = 9
1 + 3 + 5 = 9
2 + 3 + 4 = 9
没有其他符合的组合了。

示例 3:

输入: k = 4, n = 1
输出: []
解释: 不存在有效的组合。
在[1,9]范围内使用4个不同的数字，我们可以得到的最小和是1+2+3+4 = 10，因为10 > 1，没有有效的组合。

组合问题：给定一个 1~9 的组合，求和为 n ，个数为 k的所有组合

【思路分析】可以通过回溯算法求解组合问题：元素不同的顺序是一样的组合，不能取重复的元素

回溯算法的实现过程，包括建立树形结构 ，遍历集合 ，剪枝等操作

通过树形结构来搜索符合要求的组合，k 控制着树的深度，而集合1~9控制着树的宽度。
如果叶子节点里的和等于目标和，就符合要求，返回结果
求解组合问题中的剪枝过程，通过对目标集合个数和元素个数的控制，实现了剪枝优化

思路来源于卡尔的代码随想录，文章摘取：代码随想录 (programmercarl.com)

targetSum（int）目标和，也就是题目中的n
k（int）就是题目中要求k个数的集合
sum（int）为已经收集的元素的总和，也就是path里元素的总和
startIndex（int）为下一层for循环搜索的起始位置

（1）「回溯」 三部曲：

① 首先，确定递归函数的参数和返回值
② 确定递归的终止条件
③ 确定单层搜索的逻辑

cpp 复制代码

void backtracking(参数) {
    if(终止条件) {
        存放结果;    
        return;        
    }
    for(选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表);//递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

确定终止条件 k 控制树的深度，通过 startIndex 来控制每一个 for循环从哪里开始的

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> result;// 存放结果集
    vector<int>path; // 符合条件的结果
    void backtracking(int targetSum,int sum,int k,int startIndex) {
        if(path.size() == k) {
            if(sum == targetSum) {
                result.push_back(path);
            }
            return;// 如果path.size() == k 但sum != targetSum 直接返回
        }
        for(int i=startIndex;i<=9;i++) {
            sum+=i;// 处理
            path.push_back(i);// 处理
            backtracking(targetSum,sum,k,i+1);// 注意i+1调整startIndex
            path.pop_back();// 回溯
            sum-=i;// 回溯
        }
    }
    vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
        backtracking(n,0,k,1);
        return result;
    }
};

（2）优化：剪枝

通过对目标集合个数 和元素个数的控制
剪枝过程在for循环中控制，控制组合个数
剪枝操作可以减少不必要的递归

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int>path;
    void backtracking(int targetSum,int sum,int k,int startIndex) {
        if(sum>targetSum) { // 剪枝：对目标和
            return;
        }
        if(path.size() == k) {
            if(sum == targetSum) {
                result.push_back(path);
            }
            return;
        }
        for(int i=startIndex;i<=9-(k-path.size())+1;i++) { // 剪枝：对集合个数
            sum+=i;
            path.push_back(i);
            backtracking(targetSum,sum,k,i+1);
            path.pop_back();
            sum-=i;
        }
    }
    vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
        backtracking(n,0,k,1);
        return result;
    }
};

其中，对于 sum > 目标和targetSum 的剪枝也可以写在单层搜索for循环里

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int>path;
    void backtracking(int targetSum,int sum,int k,int startIndex) {
        if(path.size() == k) {
            if(sum == targetSum) {
                result.push_back(path);
            }
            return;
        }
        for(int i=startIndex;i<=9-(k-path.size())+1;i++) {// 剪枝：对集合个数
            sum+=i;// 处理
            path.push_back(i);// 处理
            if(sum>targetSum) { // 剪枝：对目标和
                path.pop_back();// 回溯
                sum-=i;// 回溯
                return;
            }
            backtracking(targetSum,sum,k,i+1);
            path.pop_back();// 回溯
            sum-=i;// 回溯
        }
    }
    vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
        backtracking(n,0,k,1);
        return result;
    }
};

（3）减少一个参数

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int>path;
    void backtracking(int targetSum,int k,int startIndex) {
        if(path.size() == k) {
            if(targetSum==0) {
                result.push_back(path);
            }
            return;
        }
        for(int i=startIndex;i<=9;i++) {
            targetSum-=i;
            path.push_back(i);
            
            if(targetSum<0) {
                path.pop_back();
                targetSum+=i;
                return;
            }
            backtracking(targetSum,k,i+1);
            path.pop_back();
            targetSum+=i;
        }
    }
    vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
        backtracking(n,k,1);
        return result;
    }
};