数据结构第五课 -----二叉树的代码实现

老秦包你会2023-11-29 19:17

作者前言

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二叉树的顺序结构实现

小知识

完全二叉树的堆的创建时间复杂度

假设我们随意给出一个长度为n的数组，如果我们要建堆，最坏的情况就是全部节点都要向下调整

我们可以当完全二叉树是满二叉树进行计算

我们需要统计全部节点的移动次数，最终全部计算出 2^h -1 - h,因为是每个节点要往下移动一个高度次, 满二叉树是 的节点数 N = 2 ^h - 1 所以 h = log(N +1),代入 2^h -1 - h得出n - log(n+1) 大约就是n次 而每个节点的时间复杂度是大约是O(log(N))(每个节点向下调整高度次).这个就是向下调整的时间复杂度O(N)

向上调整的时间复杂度

二叉树的最后一层占据所有节点的一半

最终化简就是T(n) = (n+1)*(log(n+1) - 1) +1 -n 大概就是O(N *log(N))

堆的实现

可以发现我们的要想实现二叉树就得借助顺序表来进行操作，因为二叉树是逻辑结构，我们要想实现就得利用物理结构，也就是堆 ，堆有大小堆的区分，下面我以小堆来实现

结构体

这里是利用顺序表来存储,所以结构和顺序表是一样的,但是本质上还是二叉树

sql 复制代码 
typedef int HDataType;
typedef struct Heap
{
	HDataType* tree;
	int size;
	int capacity;
}Heap;

插入

思路：我们先插入最后一个，然后向上调整，因为我们是小堆，要保证每个父亲<= 孩子

这里我们要注意不能越界,

sql 复制代码 
//向上调整
void adjust(HDataType* tree, int Hsize)
{
	int child = Hsize - 1;
	int parent = (Hsize - 1 - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (tree[child] < tree[parent])
		{
			HDataType b = tree[child];
			tree[child] = tree[parent];
			tree[parent] = b;
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
			return;
	}
}
// 插入
void Heappush(Heap* obj, HDataType elemest)
{
	//判断释放满
	if (obj->size == obj->capacity)
	{
		obj->capacity = (obj->capacity == 0 ? 4 : obj->capacity * 2);
		HDataType * tmp = realloc(obj->tree, sizeof(Heap) * obj->capacity);
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc");
			return;
		}
		obj->tree = tmp;
	}
	obj->tree[obj->size++] = elemest;
	//开始检查是否大于父节点
	adjust(obj->tree, obj->size);
	
}

我们主要就是考虑 根节点和自己的孩子这里,是有可能越界的

如图,可以利用child == 0来结束,

删除

这里的删除和前面我们学习过的顺序表和链表的删除不太一样,这里的删除是要删除二叉树的根节点，删除后又要构成一样的小堆
思路 ： 根节点和最后一个叶节点进行交换，然后删除叶节点（新的叶节点），交换后的根节点（新的根节点），然后让左右孩子进行比较大小，比较出最小值，然后再和根节点进行比较，如果根节点大于，就交换，然后依次循环直到符合小堆， 如果小于或者等于则不用调整，但是因为我们是把最后一个叶节点交换，交换的节点可能会大于等于，这种情况可以忽略，但是思路还是可以借鉴，

需要注意的是我们交换是循环进行的要找到结束条件

sql 复制代码 
// 删除 (删除根节点)
void HeapPop(Heap* obj)
{
	assert(obj);
	assert(obj->size > 0);
	//两节点交换
	HDataType elemest = obj->tree[0];
	obj->tree[0] = obj->tree[obj->size - 1];
	obj->tree[obj->size - 1] = elemest;
	obj->size--;
	//向下调整
	int parent = 0;
	int  child = parent * 2 + 1;
	if (parent * 2 + 1 < obj->size && parent * 2 + 2 < obj->size &&  obj->tree[parent * 2 + 1] > obj->tree[parent * 2 + 2] )
	{
		child = parent * 2 + 2;
	}
	while (child < obj->size)
	{
		
		//判断孩子和父亲的大小
		if (obj->tree[parent] > obj->tree[child])
		{
			//两节点交换
			HDataType elemest = obj->tree[parent];
			obj->tree[parent] = obj->tree[child];
			obj->tree[child] = elemest;
			parent = child;
		}
		else
			break;
		child = parent * 2 + 1;
		if (parent * 2 + 1 < obj->size && parent * 2 + 2 < obj->size && obj->tree[parent * 2 + 1] > obj->tree[parent * 2 + 2])
		{
			child = parent * 2 + 2;
		}

	}
	

}

我们可以判断child是否大于等于size，，因为我们的思路就是要找到叶节点，我们只需child大于等于size就停止循环

根节点

sql 复制代码 
// 根
HDataType  HeapTop(Heap* obj)
{
	assert(obj);
	assert(obj->size > 0);
	return obj->tree[0];
}

长度

sql 复制代码 
// 长度
size_t HeapSize(Heap* obj)
{
	assert(obj);
	return obj->size;
}

是否为空

sql 复制代码 
//是否为空
bool HeapEmpty(Heap* obj)
{
	assert(obj);
	return obj->size == 0;
}

TOP-K问题

TOP-K问题： 即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。

在N个数中找出前K个大的数(N远大于K)

  1. 思路: 把N个数创建成大堆,然后pop K次
    这种算法的时间复杂度是 N *log(N) + K *log(N),每个节点向下调整
    最终大约是O(N *log(N))
    这种算法还是有差异
    如果N是100亿, k = 10, 一个整形4个字节
    那么我们就需要400亿字节,也就大约40G内存,我们电脑内存最多就32G,这个方法行不通
  2. 思路:
    1.读取N个数的K个,创建一个K个数的小堆,
    2.然后依次把剩下的N-K个数进行和堆顶比较,如果大于堆顶就顶替堆顶,然后向下调整形成小堆,
    注意的是我们是要大于堆顶的数顶替原来的堆顶,不是让小的顶替, 我们知识借鉴了小堆的思路,并不是完全是按照小堆的思路走
sql 复制代码 
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
void exchange(int *a, int *b)
{
	int e = *a;
	*a = *b;
	*b = e;
}
void PrintTop(int n)
{
	//创建一个n个数的小堆
	FILE* pf = fopen("./test.txt", "r");
	if (pf == NULL)
	{
		perror("fopen");
		return 1;
	}
	int* Heap = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
	int i = 0;
	for (i = 0; i < n; i++)
	{
		int elemest;
		fscanf(pf, "%d", &elemest);
		Heap[i] = elemest;
		//向上调整
		int child = i;
		int parent = (child - 1) / 2;
		while (child > 0)
		{
			if (Heap[child] < Heap[parent])
			{
				exchange(&Heap[child], &Heap[parent]);
			}
			else
				break;
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;

		}

	}
	// 继续读取下面的数据
	int ch = 0;
	while ( fscanf(pf, "%d", &ch) != EOF)
	{
		if (ch <= Heap[0])
		{
			continue;
		}
		Heap[0] = ch;
		//向下调整
		int parent = 0;
		int child = parent * 2 + 1;
		while (child < n)
		{
			if (child + 1 < n && Heap[child] > Heap[child + 1])
				{
					child += 1;
				}
			if (Heap[child] < Heap[parent])
				exchange(&Heap[child], &Heap[parent]);
			else
				break;
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}

	}
	//打印数据
	for (i = 0; i < n; i++)
	{
		printf("%d ", Heap[i]);
	}
	free(Heap);
	fclose(pf);
}
void random(int n)
{
	FILE* pf = fopen("./test.txt", "w");
	if (pf == NULL)
	{
		perror("fopen");
		return 1;
	}
	srand(time(NULL));
	int i = 0;
	for (i = 0; i < 10000; i++)
	{
		fprintf(pf, "%d\n", (rand() + i) % 100000);
	}

	fclose(pf);
}

int main()
{
	int n = 10;

	PrintTop(n);



	return 0;
}

上面的代码中的建堆的代码 可以使用插入小堆然后进行向上调整的方法,还有一种方法是假设一棵二叉树的

左右子树都是大堆或者小堆,然后我们只需进行根节点和左右子树点进行调整

我们只需对最后叶节点的父节点开始进行向下调整,然后依次往下,

sql 复制代码 
// 第二种方法
	//从最后一个节点的父亲开始向下调整,我们创建的是小堆 ,
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		//向下调整
		int parent = i;
		int child = parent * 2 + 1;
		while (child < n)
		{
			if (child + 1 < n && Heap[child] > Heap[child + 1])
			{
				child += 1;
			}
			if (Heap[child] < Heap[parent])
				exchange(&Heap[child], &Heap[parent]);
			else
				break;
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
	}

这种算法的效率更高,第一种方法是我们慢慢学习了堆总结出来的,先插入值进堆,然后向上调整,这样很蛮烦

但是这种方法从一开始就是左右子树就是大堆或者小堆,然后只需进行根节点的向下调整就可以,这个是递归思想的一种体现

堆排序

升序排序建大堆 ，降序排序建小堆

思路： 先 根节点和最后一个叶节点进行交换，这样就可以把最大的数放在数组的末尾，然后长度再减1

依次循环往下直到长度为1，或者下标为0就停止

sql 复制代码 
#include<stdio.h>
typedef int Heapdata;
void exchange(Heapdata *a, Heapdata *b)
{
	Heapdata e = *a;
	*a = *b;
	*b = e;
}
void Heapsort(Heapdata* heap, int size)
{
	//建大堆
	int i = 0; 
	for (i = 1; i < size; i++)
	{
		//向上调整
		int child = i;
		int parent = (child - 1) / 2;
		while (child > 0)
		{
			if (heap[child] > heap[parent])
			{
				//交换
				exchange(&heap[child], &heap[parent]);
				child = parent;
				parent = (child - 1) / 2;
			}
			else
				break;
		}

	}
	//开始升序排序
	while (size > 0)
	{
		// 根节点和最后一个叶节点交换
		exchange(&heap[0], &heap[--size]);
		//向下调整
		int parent = 0;
		int child = parent * 2 + 1;
		while (child < size)
		{
			if (child + 1 < size && heap[child] < heap[child + 1])
			{
				child += 1;
			}
			if (heap[child] > heap[parent])
				exchange(&heap[child], &heap[parent]);
			else
				break;
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
	}
	


}
int main()
{
	Heapdata a[] = { 2,1,48,5,2,4,7,5,63,8 };
	int size = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
	//堆排序
	Heapsort(a, size);


	return 0;
}

总结

这里简单介绍了堆 堆排序和Top K问题,还介绍了向下调整的时间复杂度和向上调整的时间复杂度

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