题目描述

T248896 05-17-C02-求一个矩阵中的鞍点(L4)

题目描述

编程求一个4×4矩阵（就是二维数组）中的鞍点，如果没有鞍点，则输出提示信息。

鞍点是二维数组中的一个元素，它在它所在那一行上最大，在它所在那一列上最小。

输入格式

输入数据占4行，每行有4个整数，范围不超过int型的范围。

输出格式

如果不存在鞍点，则输出"no saddle"；如果存在鞍点，则输出所有鞍点，每个鞍点占一行，为3个整数，分别表示鞍点的值，以及它的行号和列号（行号和列号均从1开始计起），多个鞍点先按行优先、再按列优先的顺序输出。

输入输出样例 #1

输入 #1

```

5 12 23 56 19 28 37 46 -12 -34 6 8 97 25 -7 45

```

输出 #1

```

8 3 4

```

输入输出样例 #2

输入 #2

```

5 12 23 56 19 28 37 46 -12 -34 6 58 97 25 -7 45

```

输出 #2

```

no saddle

```

输入输出样例 #3

输入 #3

```

70 -77 -93 -25 55 -64 -36 -10 63 -91 -22 -12 55 20 -59 -81

```

输出 #3

```

55 2 1

55 4 1

```

输入输出样例 #4

输入 #4

```

28 -5 50 71 4 -44 12 18 70 30 -47 36 -54 -70 -54 -54

```

输出 #4

```

-54 4 1

-54 4 3

-54 4 4

```

说明/提示

本题出处

本题源自以下教材的编程习题：王桂平, 周祖松, 穆云波, 葛昌威编著. C++趣味编程及算法入门. 北京大学出版社, 2024年出版.

一、题目分析

题目要求在一个 4×4 的矩阵中寻找 "鞍点"。鞍点的定义是：矩阵中的一个元素，它既是所在行的最大值，又是所在列的最小值。若存在多个鞍点，需按行优先、列优先的顺序输出（即先按行号从小到大，同一行内按列号从小到大）；若不存在鞍点，输出 "no saddle"。

二、核心思路

要找到鞍点，需分两步判断每个元素：

该元素是否是其所在行的最大值；
该元素是否是其所在列的最小值。

为提高效率，可先预处理矩阵，计算出每一行的最大值和每一列的最小值，存储在临时变量中，再逐个元素验证是否同时满足上述两个条件。

三、代码实现步骤详解

1. 引入头文件与命名空间

cpp

运行

复制代码

#include<bits/stdc++.h>  // 包含所有标准库，简化代码
using namespace std;

2. 定义矩阵并读取输入

cpp

运行

复制代码

int a[5][5];  // 定义5×5数组（下标1~4用于存储4×4矩阵，0行0列用于存储中间结果）
int i,j;

// 读取4×4矩阵，行号i和列号j从1开始（方便后续输出行号列号）
for(i = 1; i < 5; i++){  // i=1~4（4行）
    for(j = 1; j < 5; j++){  // j=1~4（4列）
        cin >> a[i][j];  // 存储元素到a[i][j]
    }
}

说明：使用 5×5 数组而非 4×4，是为了用a[0][j]存储第 j 列的最小值，a[i][0]存储第 i 行的最大值，避免占用有效数据的下标。

3. 计算每列的最小值（存储在第 0 行）

cpp

运行

复制代码

for(j = 1; j < 5; j++){  // 遍历每一列（j=1~4）
    int mn = a[1][j];  // 初始假设第j列第1行的元素是最小值
    for(i = 2; i < 5; i++){  // 比较第j列的其他元素（行i=2~4）
        if(a[i][j] < mn){  // 若找到更小的元素
            mn = a[i][j];  // 更新最小值
        }
    }
    a[0][j] = mn;  // 第j列的最小值存入a[0][j]
}

4. 计算每行的最大值（存储在第 0 列）

cpp

运行

复制代码

for(i = 1; i < 5; i++){  // 遍历每一行（i=1~4）
    int mx = a[i][1];  // 初始假设第i行第1列的元素是最大值
    for(j = 2; j < 5; j++){  // 比较第i行的其他元素（列j=2~4）
        if(a[i][j] > mx){  // 若找到更大的元素
            mx = a[i][j];  // 更新最大值
        }
    }
    a[i][0] = mx;  // 第i行的最大值存入a[i][0]
}

5. 查找并输出鞍点

cpp

运行

复制代码

bool flag = false;  // 标记是否找到鞍点，初始为false

// 按行优先、列优先遍历所有元素（i=1~4行，j=1~4列）
for(i = 1; i < 5; i++){
    for(j = 1; j < 5; j++){
        // 若当前元素既是所在行的最大值（等于a[i][0]），又是所在列的最小值（等于a[0][j]）
        if(a[i][j] == a[i][0] && a[i][j] == a[0][j]){
            // 输出：元素值、行号、列号（行号列号从1开始，与i、j直接对应）
            cout << a[i][j] << " " << i << " " << j << endl;
            flag = true;  // 标记已找到鞍点
        }
    }
}

// 若未找到鞍点，输出提示信息
if(flag == false){
    cout << "no saddle" << endl;
}

四、关键逻辑解析

数组下标设计 ：用a[1][1]~a[4][4]存储 4×4 矩阵的有效元素，a[0][j]（j=1~4）存储第 j 列的最小值，a[i][0]（i=1~4）存储第 i 行的最大值。这种设计避免了额外定义数组，且方便直接通过 i、j 获取行号和列号（无需转换）。
行最大值与列最小值的预处理：先一次性计算所有行的最大值和列的最小值，存储在第 0 行和第 0 列，后续判断时直接读取，避免重复计算，提高效率。
鞍点判断条件 ：元素a[i][j]必须同时满足：
- 等于所在行的最大值（a[i][j] == a[i][0]）
- 等于所在列的最小值（a[i][j] == a[0][j]）
输出顺序 ：遍历顺序为i从1到4（行优先），同一行内j从1到4（列优先），自然满足题目要求的输出顺序。

五、示例测试解析

样例 1 输入：

plaintext

复制代码

5 12 23 56
19 28 37 46
-12 -34 6 8
97 25 -7 45

计算列最小值（a[0][j]）：第 1 列：min (5,19,-12,97) = -12第 2 列：min (12,28,-34,25) = -34第 3 列：min (23,37,6,-7) = -7第 4 列：min (56,46,8,45) = 8
计算行最大值（a[i][0]）：第 1 行：max (5,12,23,56) = 56第 2 行：max (19,28,37,46) = 46第 3 行：max (-12,-34,6,8) = 8第 4 行：max (97,25,-7,45) = 97
判断鞍点 ：第 3 行第 4 列的元素8，等于行最大值（8）和列最小值（8），因此是鞍点。输出：8 3 4。

样例 3 输入：

plaintext

复制代码

70 -77 -93 -25
55 -64 -36 -10
63 -91 -22 -12
55 20 -59 -81

列最小值（第 1 列）：min (70,55,63,55) = 55
行最大值：第 2 行：max (55,-64,-36,-10) = 55第 4 行：max (55,20,-59,-81) = 55
鞍点：第 2 行第 1 列（55）和第 4 行第 1 列（55）均满足条件，按行优先输出，结果为：55 2 1``55 4 1

样例 4 输入：

plaintext

复制代码

28 -5 50 71
4 -44 12 18
70 30 -47 36
-54 -70 -54 -54

行最大值（第 4 行）：max(-54,-70,-54,-54) = -54
列最小值：第 1 列：min (28,4,70,-54) = -54第 3 列：min (50,12,-47,-54) = -54第 4 列：min (71,18,36,-54) = -54
鞍点：第 4 行中列 1、3、4 的元素均为 - 54，且满足条件，输出：-54 4 1``-54 4 3``-54 4 4

六、完整代码

cpp

运行

复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int a[5][5],i,j;
    // 读取4×4矩阵（行号、列号从1开始）
    for(i = 1; i < 5; i++){
        for(j = 1; j < 5; j++)
            cin >> a[i][j];
    }
    // 计算每列的最小值，存储在第0行
    for(j = 1; j < 5; j++){
        int mn = a[1][j];
        for(i = 2; i < 5; i++){
            if(a[i][j] < mn) mn = a[i][j];
        }
        a[0][j] = mn;
    }
    // 计算每行的最大值，存储在第0列
    for(i = 1; i < 5; i++){
        int mx = a[i][1];
        for(j = 2; j < 5; j++){
            if(a[i][j] > mx) mx = a[i][j];
        }
        a[i][0] = mx;
    }
    // 查找并输出鞍点
    bool flag = false;
    for(i = 1; i < 5; i++){
        for(j = 1; j < 5; j++){
            if(a[i][j] == a[i][0] && a[i][j] == a[0][j]){
                cout << a[i][j] << " " << i << " " << j << endl;
                flag = true;
            }
        }
    }
    // 未找到鞍点时输出提示
    if(flag == false) cout << "no saddle" << endl;
    return 0;
}