线性代数入门与学习笔记

该内容为重拾部分线性代数知识的学习笔记,内容上更多的是为了解决问题而学习的内容,并非系统化的学习。

针对的问题为:Music算法推导求解过程中的矩阵计算知识。

学习的内容包括:矩阵原理、矩阵行列式、矩阵的秩、线性变换矩阵变换、单位矩阵与逆矩阵、特征值和特征向量。

推荐学习视频:bilibili的视频:【线性代数全集从入门到精通(清楚易懂,看过的都说好,哈哈)】 https://www.bilibili.com/video/BV1wL411H7x1/?share_source=copy_web\&vd_source=a0df23ab5f45bf4a580c20684f4a6705

一. 矩阵

  1. 线性方程组

    线性方程组,多元x1 x2 x3等组成的线性方程组。线性方程组的解只有三种情况:0个解、1个(组)解和无穷多个解。

  2. 增广矩阵

    增广矩阵为系数矩阵+常数项矩阵,是一种更简单的表达。

  3. 理想矩阵:阶梯型矩阵、对角矩阵

    通过对矩阵进行初等行变换,即行的倍数、行的叠加、行的倍数再叠加,矩阵的解不变。

    从最下面一行开始消元,得到理想型矩阵可以方便求解元,该方法叫做高斯消元法。

    阶梯型矩阵就可以方便求解,对角矩阵则是更加理想的矩阵。

  4. 矩阵与向量

    空间中的向量,可以用多个正交单位向量的组合表示。

    多个向量的线性组合为这些向量的向量空间。

    线性相关:多个向量的线性组合能够等于0,其中他们的系数不全为0,即线性相关,否则线性无关。

    定义:n+1个n维向量一定是线性相关的。因为n个不相关的向量已经组成了整个n维的自由空间,多一个肯定是在这个自由空间中的。

    向量的计算:数乘、加法、线性组合。

  5. 齐次方程组

    齐次方程组的常数矩阵为0,即Ax = 0

  6. 矩阵乘法

    矩阵乘法中,左边矩阵的列数要等于右边矩阵的行数。

二、矩阵行列式

  1. 行列式可以Det(A)表示
  2. 行列式为符号系数+子矩阵行列式的叠加。

三、矩阵秩

  1. 秩的定义
    矩阵的秩为最高阶非零子式的阶数。
  2. 秩对求解个数的意义
    系数矩阵的秩=增广矩阵的秩:1个解
    系数矩阵的秩<增广矩阵的秩:0个解
    系数矩阵的秩>增广矩阵的秩:无穷个解

四、线性变换、矩阵变换

  1. 线性变换和矩阵变换
    这两种变换是可以在一定程度上转换的。

五、单位矩阵与逆矩阵

  1. 单位矩阵
  2. 逆矩阵
    逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩阵。
    逆矩阵的计算可以由下述公式计算,分母为矩阵行列式,也可以用Det(A)表示,选取最佳的一行(0比较多的行)进行计算。分子为伴随矩阵。

六、特征值与特征向量

  1. 特征值和特征向量

    矩阵和特征向量的乘积,正好为一个特征值与该特征向量的乘积。即矩阵的乘积,只改变该方向的大小,而不改变方向。

    特征向量表达了方向,特征值表达了大小。

    个人理解:特征向量意味着该矩阵在这个方向上的映射。

  2. 特征值计算

    Ax = λx

    Ax = λIx

    (A-λI)x = 0

    Det(A-λI) = 0

    得到多个特征值

  3. 特征向量的计算

    带入特征值到上式,进行计算和求解。

  4. 意义

    几何意义为变换效果只发生缩放,不发生其他如旋转、平移。

    代数意义为矩阵的内部结构进行了分解和化解。

七、协方差矩阵

  1. 协方差矩阵
    个人理解:表达了两个矩阵之间的关联性。
相关推荐
云上艺旅15 小时前
K8S学习之基础七十四:部署在线书店bookinfo
学习·云原生·容器·kubernetes
老歌老听老掉牙15 小时前
平面旋转与交线投影夹角计算
python·线性代数·平面·sympy
你觉得20515 小时前
哈尔滨工业大学DeepSeek公开课:探索大模型原理、技术与应用从GPT到DeepSeek|附视频与讲义下载方法
大数据·人工智能·python·gpt·学习·机器学习·aigc
A旧城以西17 小时前
数据结构(JAVA)单向,双向链表
java·开发语言·数据结构·学习·链表·intellij-idea·idea
无所谓จุ๊บ17 小时前
VTK知识学习(50)- 交互与Widget(一)
学习·vtk
FAREWELL0007517 小时前
C#核心学习(七)面向对象--封装(6)C#中的拓展方法与运算符重载: 让代码更“聪明”的魔法
学习·c#·面向对象·运算符重载·oop·拓展方法
吴梓穆17 小时前
UE5学习笔记 FPS游戏制作38 继承标准UI
笔记·学习·ue5
Three~stone18 小时前
MySQL学习集--DDL
数据库·sql·学习
齐尹秦18 小时前
HTML 音频(Audio)学习笔记
学习
V---scwantop---信18 小时前
英文字体:大胆都市街头Y2Y涂鸦风格品牌海报专辑封面服装字体 Chrome TM – Graffiti Font
笔记·字体