K-Means 算法详解
K-Means 是一种流行的聚类算法，用于将数据划分为预定数量的簇（clusters）。
K-Means 算法的基本步骤
1. 初始化
- 随机选择 k k k 个数据点作为初始质心（centroids）。
2. 分配数据点
- 将每个数据点分配到最近的质心，形成 k k k 个簇。
3. 更新质心
- 对于每个簇，计算所有数据点的均值，并将该均值作为新的质心。
4. 迭代
- 重复步骤 2 和 3 直到满足停止条件（如质心不再显著变化或达到最大迭代次数）。
数学原理
1. 距离度量
-
通常使用欧氏距离来度量数据点与质心之间的距离：
Distance = ∑ i = 1 n ( x i − y i ) 2 \text{Distance} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2} Distance=i=1∑n(xi−yi)2
其中 x i x_i xi 和 y i y_i yi 是两点在第 i i i 维的坐标。
2. 目标函数
-
K-Means 的目标是最小化所有簇内数据点与其质心的距离之和：
J = ∑ j = 1 k ∑ i = 1 n j ∣ ∣ x i ( j ) − c j ∣ ∣ 2 J = \sum_{j=1}^{k} \sum_{i=1}^{n_j} ||x_i^{(j)} - c_j||^2 J=j=1∑ki=1∑nj∣∣xi(j)−cj∣∣2
其中 n j n_j nj 是第 j j j 个簇中的数据点数， x i ( j ) x_i^{(j)} xi(j) 是簇 j j j 中的第 i i i 个数据点， c j c_j cj 是簇 j j j 的质心。
代码
python
from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.datasets import make_blobs
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成模拟数据
X, _ = make_blobs(n_samples=300, centers=4, cluster_std=0.60, random_state=0)
# 创建KMeans实例
kmeans = KMeans(n_clusters=4)
# 训练模型
kmeans.fit(X)
# 预测簇标签
y_kmeans = kmeans.predict(X)
# 可视化聚类结果
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y_kmeans, s=50, cmap='viridis')
centers = kmeans.cluster_centers_
plt.scatter(centers[:, 0], centers[:, 1], c='black', s=200, alpha=0.5)
plt.title("K-Means Clustering")
plt.show()在这个示例中，我们首先生成了一组模拟数据，然后创建了一个KMeans实例并指定簇的数量。接着，我们训练了模型并预测了每个数据点的簇标签。最后，我们使用Matplotlib可视化了聚类
K-Means 与 C-Means 的区别
K-Means
- 硬聚类方法，每个数据点只属于一个簇。
- 使用欧氏距离作为距离度量。
- 更简单和快速。
C-Means（模糊C-Means）
- 软聚类方法，每个数据点以一定程度属于所有簇。
- 数据点对簇的隶属度是模糊的，由隶属函数给出。
- 更适用于簇的边界不清晰的情况。
C-Means 为数据点提供了更多的灵活性，允许它们以不同程度属于多个簇，这在一些应用中可能更为合适。