问题描述
有 N N N个任务，需要 N N N个人去完成，每个人完成不同工作的效率不同（或者资源、收益等等），需要怎么分配使得整体的效率最高（成本最低等等）呢？这就是经典的指派问题啦！
数学建模
我们首先做以下定义：
I I I: 人的集合；
J J J: 任务的集合；
c i j c_{ij} cij: 把任务 j j j分配给 i i i的成本；
x i j x_{ij} xij: 是否把任务 j j j分配给 i i i，0-1变量；
m i n ∑ i ∈ I ∑ j ∈ J x i j c i j s . t ∑ i ∈ I x i j = 1 , ∀ j ∈ J ∑ j ∈ J x i j = 1 , ∀ i ∈ I min \sum_{i \in I} \sum_{j \in J}x_{ij}c_{ij} \\ s.t \sum_{i \in I}x_{ij}=1, \forall j\in J\\ \sum_{j \in J}x_{ij}=1, \forall i\in I\\ mini∈I∑j∈J∑xijcijs.ti∈I∑xij=1,∀j∈Jj∈J∑xij=1,∀i∈I
目标函数表示最小化成本，第一行约束表示每个任务只能分配给一个人，第二行约束表示每个人只能被分配一个任务。
整数最优解特性
即使把变量 x e x_{e} xe松弛成 0 ≤ x e ≤ 1 0 \leq x_e \leq1 0≤xe≤1，原问题变成线性规划，该问题仍然存在整数最优解。
模型求解
方式一 ：将模型直接扔给求解器（Gurobi、Cplex）等求解就可以啦！如果对求解运筹模型时如何选择求解器有疑问的小伙伴，可以参考我的文章如何选择合适的求解器；
后面再补充python实现的代码(todo)
方式二：对算法求解速度有更高要求的，可以通过匈牙利算法、Ford-Fulkerson算法（FFA）等求解。