刷题的第二十六天，希望自己能够不断坚持下去，迎来蜕变。😀😀😀
刷题语言：C++
Day26 任务
● 动态规划理论基础
● 斐波那契数
● 爬楼梯
1 动态规划理论基础
对于动态规划问题，拆解为五个步骤：
（1）确定dp数组以及下标的含义
（2）确定递推公式
（3）dp数组如何初始化
（4）遍历顺序
（5）举例推导dp数组
2 斐波那契数
思路：
递归法
C++：
cpp
class Solution {
public:
int fib(int n) {
if (n < 2) return n;
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
};时间复杂度： O ( 2 n ) O(2^n) O(2n)
空间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
动态规划
用一个一维的dp数组保存递归的结果
（1）确定dp数组以及下标的含义
dpi的定义为：第i个数的斐波那契数值是dpi
（2）确定递推公式
状态转移方程： d p i = d p i − 1 + d p i − 2 dpi = dpi - 1 + dpi - 2 dpi=dpi−1+dpi−2
（3）dp数组如何初始化
cpp
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;（4）遍历顺序
dpi是依赖 dpi - 1 和 dpi - 2，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的
（5）举例推导dp数组
把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的
C++：
cpp
class Solution {
public:
int fib(int n) {
if (n <= 1) return n;
vector<int> dp(n + 1);
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
};时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
空间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
本题只需要维护两个数值
C++：
cpp
class Solution {
public:
int fib(int n) {
if (n <= 1) return n;
int dp[2];
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
int sum = dp[0] + dp[1];
dp[0] = dp[1];
dp[1] = sum;
}
return dp[1];
}
};时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
空间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)
3 爬楼梯
思路：
动态规划
（1）确定dp数组以及下标的含义
dpi： 爬到第i层楼梯，有dpi种方法
（2）确定递推公式
dpi - 1，上i-1层楼梯，有dpi - 1种方法，那么再一步跳一个台阶就是dpi
dpi - 2，上i-2层楼梯，有dpi - 2种方法，那么再一步跳两个台阶就是dpi
d p i = d p i − 1 + d p i − 2 dpi = dpi - 1 + dpi - 2 dpi=dpi−1+dpi−2
（3）dp数组如何初始化
cpp
dp[0] = 1;
dp[1] = 1;（4）遍历顺序：从前往后
（5）举例推导dp数组
C++:
cpp
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
if (n <= 1) return n;
vector<int> dp(n + 1);
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
};时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
空间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
优化代码：
cpp
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
if (n <= 1) return n;
int dp[3];
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
int sum = dp[1] + dp[2];
dp[1] = dp[2];
dp[2] = sum;
}
return dp[2];
}
};时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
空间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)
4 使用最小花费爬楼梯
思路：
动态规划
可以选择从下标为0或下标为1的台阶开始爬楼梯就是相当于跳到下标 0或者下标1是不花费体力的， 从 下标 0 下标1 开始跳就要花费体力了
（1）确定dp数组以及下标的含义
dpi的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dpi
（2）确定递推公式
有两个途径得到dpi，一个是dpi-1 一个是dpi-2
dpi - 1 跳到 dpi 需要花费 dpi - 1 + costi - 1
dpi - 2 跳到 dpi 需要花费 dpi - 2 + costi - 2
cpp
dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);（3）dp数组如何初始化
cpp
dp[0] = 0;
dp[1] = 0;（4）遍历顺序：从前到后遍历cost数组
（5）举例推导dp数组
C++：
cpp
class Solution {
public:
int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
vector<int> dp(cost.size() + 1);
dp[0] = 0;// 默认第一步都是不花费体力的
dp[1] = 0;
for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {
dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
}
return dp[cost.size()];
}
};时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
空间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
优化：
cpp
class Solution {
public:
int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
int dp0 = 0;
int dp1 = 0;
for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {
int dpi = min(dp1 + cost[i - 1], dp0 + cost[i - 2]);
dp0 = dp1; // 记录一下前两位
dp1 = dpi;
}
return dp1;
}
};时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
空间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)
鼓励坚持二十七天的自己😀😀😀