刷题的第二十九天，希望自己能够不断坚持下去，迎来蜕变。😀😀😀
刷题语言：C++
Day29 任务
1 动态规划：01背包问题，你该了解这些！
背包问题的理论基础重中之重是01背包
1.1 01 背包
01 背包：有n件物品和一个最多能背重量为w的背包。第i件物品的重量是weighti，得到的价值是valuei。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大
| 重量 | 价值 | |
|---|---|---|
| 物品0 | 1 | 15 |
| 物品1 | 3 | 20 |
| 物品2 | 4 | 30 |
二维dp数组01背包
（1）确定dp数组以及下标的含义
dpij 表示从下标为0-i的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
（2）确定递推公式
1.不放物品i ：由dpi - 1j推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dpij就是dpi - 1j。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。)
2.放物品i：由dpi - 1j - weight\[i]推出，dpi - 1j - weight\[i] 为背包容量为j - weighti的时候不放物品i的最大价值，那么dpi - 1j - weight\[i] + valuei （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
cpp
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);（3）dp数组如何初始化
首先从dpij的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dpi0，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：
状态转移方程是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化
dp0j，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。
那么很明显当 j < weight0的时候，dp0j 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。
当j >= weight0时，dp0j 应该是value0，因为背包容量放足够放编号0物品
cpp
for (int j = 0; j < weight[0]; j++) {
dp[0][j] = 0;
}
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
dp[0][j] = value[0];
}
dp0j 和 dpi0 都已经初始化，其他下标的初始化什么数值都可以，因为都会被覆盖。
cpp
vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
dp[0][j] = value[0];
}（4）遍历顺序
先遍历物品，然后遍历背包重量
cpp
for (int i = 1; i < weight.size(); i++) {
for (int j = 0; j <= bagweight; j++) {
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}先遍历背包，再遍历物品
cpp
// weight数组的大小 就是物品个数
for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}（5）举例推导dp数组
C++：
cpp
void test_2_wei_bag_problem1() {
vector<int> weight = {1, 3, 4};
vector<int> value = {15, 20, 30};
int bagweight = 4;
// 二维数组
vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
// 初始化
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
dp[0][j] = value[0];
}
for (int i = 1; i < weight.size(); i++) {
for (int j = 0; j <= bagweight; j++) {
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}
int main() {
test_2_wei_bag_problem1();
}2 动态规划：01背包理论基础（滚动数组）
背包最大重量为4。
物品为：
| 重量 | 价值 | |
|---|---|---|
| 物品0 | 1 | 15 |
| 物品1 | 3 | 20 |
| 物品2 | 4 | 30 |
一维dp数组：上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。
dpij 表示从下标为0-i的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
（1）确定dp数组的定义
dpj表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dpj
（2）一维dp数组的递推公式
dpj有两个选择，一个是取自己dpj 相当于 二维dp数组中的dpi-1j，即不放物品i，一个是取dpj - weight\[i] + valuei，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值
cpp
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);（3）一维dp数组如何初始化
假设物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0
（4）一维dp数组遍历顺序
cpp
for (int i = 0; i < weight.size(); i++) {// 遍历物品
for (int j = bagweight; j >= weight[i]; j--) {// 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！ 如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！
为什么二维dp数组遍历的时候不用倒序呢？
因为对于二维dp，dpij都是通过上一层即dpi - 1j计算而来，本层的dpij并不会被覆盖！
（5）举例推导dp数组
C++：
cpp
void test_1_wei_bag_problem() {
vector<int> weight = {1, 3, 4};
vector<int> value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
// 初始化
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
test_1_wei_bag_problem();
}3 分割等和子集
思路：
背包问题，有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weighti，得到的价值是valuei 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
本题使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。
把01背包问题套到本题：
（1）背包的体积为sum / 2
（2）背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
（3）背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
（4）背包中每一个元素是不可重复放入。
动态规划
（1）确定dp数组以及下标的含义
01背包中，dpj 表示： 容量为j的背包，所背的物品价值最大可以为dpj
本题：dpj表示 背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dpj
（2）确定递推公式
01背包的递推公式为：dpj = max(dpj, dpj - weight\[i] + valuei);
本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是numsi，其价值也是numsi。
所以递推公式：dpj = max(dpj, dpj - nums\[i] + numsi);
（3）dp数组如何初始化
dp0一定是0。
如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。
这样才能让dp数组在递推的过程中取得最大的价值，而不是被初始值覆盖了
（4）确定遍历顺序
cpp
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
for (int j = target; j >= nums[i]; j--) {// 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
}
}（5）举例推导dp数组
dpj的数值一定是小于等于j的,如果dpj == j 说明，集合中的子集总和正好可以凑成总和j
C++：
cpp
class Solution {
public:
bool canPartition(vector<int>& nums) {
int sum = 0;
vector<int> dp(10001, 0);
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
sum += nums[i];
}
if (sum % 2 == 1) return false;
int target = sum / 2;
// 开始 01背包
for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
}
}
// 集合中的元素正好可以凑成总和target
if (dp[target] == target) return true;
return false;
}
};时间复杂度： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
空间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)，虽然dp数组大小为一个常数，但是大常数
鼓励坚持三十天的自己😀😀😀