现代控制理论
第五章
说明：
对于最小实现问题，先判断系统是否是严格真的，如果不是则用D换成严格真的；如果是，则判断是不是可简约的，如果是则化成不可简约的，如果不是，则写出能控标准型实现即为最小实现
1. 不完全能控不完全能观系统的结构分解
2. 不完全能控不完全能观系统的传递函数
这从另一个角度说明了为什么系统的传递函数并不一定能完全展示系统的结构：
只有对完全能观能控的系统,传递函数才足以表征系统的结构描述才是完全的。
3. 能控能观系统的传递函数
对于系统：
x ˙ = A x + B u y = C x \dot x=Ax+Bu\\y=Cx x˙=Ax+Buy=Cx
其系统传递函数为：
G ( s ) = C ( s I − A ) − 1 B = C a d j ( s I − A ) d e t ( s I − A ) B G(s)=C(sI-A)^{-1}B=C\frac{adj(sI-A)}{det(sI-A)}B G(s)=C(sI−A)−1B=Cdet(sI−A)adj(sI−A)B
其也可以写作：
G ( s ) = C P ( s ) ϕ ( s ) B G(s)=C\frac{P(s)}{\phi(s)}B G(s)=Cϕ(s)P(s)B
的形式，其中 P ( s ) P(s) P(s)是矩阵多项式， ϕ ( s ) \phi(s) ϕ(s)是最小多项式。
说明：
① A的最小多项式是其特征多项式的因式，必满足 ϕ ( A ) = 0 \phi(A)=0 ϕ(A)=0
② P ( s ) A = A P ( s ) P(s)A=AP(s) P(s)A=AP(s)
4. 能控能观系统的传递函数不可简约性
在复平面无根即P(s)B=0无解，反证法。
→
可以推出：
说明：
上式说明：若 ( A , B , C ) (A,B,C) (A,B,C)能控能观，则传递函数是不可简约的（既约的）。
也就是说，
但是若传递函数不可简约，并不一定系统就能控能观。
5. 最小实现
如果可以找到一个关系式：
x ˙ = A x + B u y = C x \dot x=Ax+Bu\\ y=Cx x˙=Ax+Buy=Cx
使 C ( s I − A ) − 1 B + D = G ( s ) C(sI-A)^{-1}B+D=G(s) C(sI−A)−1B+D=G(s)
则称其为传递函数矩阵 G ( s ) G(s) G(s)的一个实现。
那么给定传递函数是否一定可以找到实现呢？
① 对于严格真的传递函数矩阵：p为输入维数
与能控标准型和能观标准型类似。
② 对于真的传递函数矩阵：
可以先令 D = l i m s → ∞ G ( s ) D=lim_{s\to\infty}G(s) D=lims→∞G(s)，用 G ˉ ( s ) = G ( s ) − D \bar G(s)=G(s)-D Gˉ(s)=G(s)−D求出 ( A , B , C ) (A,B,C) (A,B,C)，则其实现为 ( A , B , C , D ) (A,B,C,D) (A,B,C,D)
其中，A的维数为实现的维数。 G ( s ) G(s) G(s)中维数最小的实现，称为最小实现。
这说明对于严格真的传递函数，能控/能观实现为系统的一个最小实现。
且有 G ( s ) G(s) G(s)的任意两个最小实现代数等价。
5.1 如何求最小实现
1）对于单输入单输出的系统，传递函数
G ( s ) = c n − 1 s n − 1 + ⋯ + c 1 s + c 0 s n + a n − 1 s n − 1 + ⋯ + a 1 s + a 0 G(s)=\frac{c_{n-1}s^{n-1}+\cdots+c_1s+c_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0} G(s)=sn+an−1sn−1+⋯+a1s+a0cn−1sn−1+⋯+c1s+c0
不可简约，其可控性实现和可观性实现即为最小实现。
A = [ 0 1 ⋱ ⋱ 0 1 − a 0 − a 1 ⋯ − a n − 1 ] A=\begin{bmatrix}0&1\\&\ddots&\ddots\\&&0&1\\-a_0&-a_1&\cdots&-a_{n-1}\end{bmatrix} A= 0−a01⋱−a1⋱0⋯1−an−1
B = [ 0 ⋮ 0 0 1 ] B=\begin{bmatrix}0\\\vdots\\0\\0\\1\end{bmatrix} B= 0⋮001
C = [ c 0 c 1 ⋯ c n − 1 ] C=\begin{bmatrix}c_0&c_1&\cdots&c_{n-1}\end{bmatrix} C=[c0c1⋯cn−1]
2）对单输入多输出的系统，传递函数：
G ( s ) = C n − 1 s n − 1 + ⋯ + C 1 s + C 0 s n + a n − 1 s n − 1 + ⋯ + a 1 s + a 0 G(s)=\frac{C_{n-1}s^{n-1}+\cdots+C_1s+C_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0} G(s)=sn+an−1sn−1+⋯+a1s+a0Cn−1sn−1+⋯+C1s+C0
不可简约，因此，其可控性实现/可观性实现即为最小实现。
A = [ 0 1 ⋱ ⋱ 0 1 − a 0 − a 1 ⋯ − a n − 1 ] A=\begin{bmatrix}0&1\\&\ddots&\ddots\\&&0&1\\-a_0&-a_1&\cdots&-a_{n-1}\end{bmatrix} A= 0−a01⋱−a1⋱0⋯1−an−1
B = [ 0 ⋮ 0 1 ] B=\begin{bmatrix}0\\\vdots\\0\\1\end{bmatrix} B= 0⋮01
C = [ C 0 C 1 ⋯ C n − 1 ] C=\begin{bmatrix}C_0&C_1&\cdots&C_{n-1}\end{bmatrix} C=[C0C1⋯Cn−1]
3）给定 q × p q\times p q×p严格真的传递函数矩阵 G ( s ) G(s) G(s)有n个单的实数极点 s 1 , . . . s n s_1,...s_n s1,...sn，则传递函数矩阵可写为：
G ( s ) = P 1 s − s 1 + P 2 s − s 2 + ⋯ + P n s − s n , G(s)=\frac{P_1}{s-s_1}+\frac{P_2}{s-s_2}+\cdots+\frac{P_n}{s-s_n}, G(s)=s−s1P1+s−s2P2+⋯+s−snPn,
其中，P可以写成：
P i = lim s → s i ( s − s i ) G ( s ) P_i=\lim_{s\to s_i}(s-s_i)G(s) Pi=lims→si(s−si)G(s)
对P进行满秩分解，则有：
P i = C i B i P_i=C_iB_i Pi=CiBi
满足： r a n k B i = r a n k C i = r a n k P i rankB_i=rankC_i=rankP_i rankBi=rankCi=rankPi
则系统的最小实现为：
A = [ s 1 I r 1 s 2 I r 2 ⋱ s n I r n ] A=\begin{bmatrix}s_1I_{r_1}\\&s_2I_{r_2}\\&&\ddots\\&&&s_nI_{r_n}\end{bmatrix} A= s1Ir1s2Ir2⋱snIrn
B = [ B 1 B 2 ⋮ B n ] B=\begin{bmatrix}B_1\\B_2\\\vdots\\B_n\end{bmatrix} B= B1B2⋮Bn
C = [ C 1 C 2 ⋯ C n ] C=\begin{bmatrix}C_1&C_2&\cdots&C_n\end{bmatrix} C=[C1C2⋯Cn]
4）对于更一般的情况，可以先写出能控性实现或能观性实现，再进行能控/能观分解，得到能控能观子系统，即为最小实现。
5.2 满秩分解
对于一个矩阵A：
A = [ 1 2 3 0 0 2 1 − 1 1 0 2 1 ] \left.A=\left[\begin{array}{rrrr}1&2&3&0\\0&2&1&-1\\1&0&2&1\end{array}\right.\right] A= 1012203120−11
其经过变换矩阵P进行初等行变换得到B：
[ A , I ] = [ 1 2 3 0 1 0 0 0 2 1 − 1 0 1 0 0 0 0 0 − 1 1 1 ] = [ B , P ] [A,I]=\left.\left[\begin{array}{rrrrrrr}1&2&3&0&1&0&0\\0&2&1&-1&0&1&0\\0&0&0&0&-1&1&1\end{array}\right.\right]=\begin{bmatrix}B,P\end{bmatrix} [A,I]= 1002203100−1010−1011001 =[B,P]
阶梯矩阵B可以写成：
B = [ D ; 0 ] = [ 1 2 3 0 0 2 1 − 1 0 0 0 0 ] B=[D;0]=\left.\left[\begin{matrix}1&2&3&0\\0&2&1&-1\\0&0&0&0\end{matrix}\right.\right] B=[D;0]= 1002203100−10
的形式，且 P − 1 P^{-1} P−1可以写成分块的形式：
P − 1 = [ C , M ] = [ 1 0 0 0 1 0 1 − 1 1 ] P^{-1}=[C,M]=\left.\left[\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\1&-1&1\end{array}\right.\right] P−1=[C,M]= 10101−1001
进而可以得到满秩分解：
A = [ C , M ] ⋅ [ D ; 0 ] = C ⋅ D A=[C,M]\cdot[D;0]=C\cdot D A=[C,M]⋅[D;0]=C⋅D