LeetCode刷题--- 最小路径和

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前言:这个专栏主要讲述动态规划算法,所以下面题目主要也是这些算法做的

我讲述题目会把讲解部分分为3个部分:
1、题目解析

2、算法原理思路讲解

3、代码实现


最小路径和

题目链接:最小路径和

题目

给定一个包含非负整数的 m xn 网格 grid ,请找出一条从左上角到右下角的路径,使得路径上的数字总和为最小。

**说明:**每次只能向下或者向右移动一步。

示例 1:

复制代码
输入:grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出:7
解释:因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2:

复制代码
输入:grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出:12

提示:

  • m == grid.length
  • n == grid[i].length
  • 1 <= m, n <= 200
  • 0 <= grid[i][j] <= 200

解法

题目解析

  • 给定一个包含非负整数的 m xn 网格 grid
  • 找出一条从左上角到右下角的路径,使得路径上的数字总和为最小。
  • 每次只能向下或者向右移动一步。

示例 1:

复制代码
输入:grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出:7
解释:因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

算法原理讲解

我们这题使用动态规划,我们做这类题目可以分为以下五个步骤

  1. 状态显示
  2. 状态转移方程
  3. 初始化(防止填表时不越界)
  4. 填表顺序
  5. 返回值

  • 状态显示

dp[i][j] 表⽰:到达 [i, j] 位置处,最⼩路径和是多少。

  • 状态转移方程

如果dp[i][j] 表⽰到达 到达 [i, j] 位置处的最⼩路径和,那么到达 [i, j] 位置之前的⼀⼩步,有两种情况:

  • 从 [i - 1, j] 向下⾛⼀步,转移到 [i, j] 位置;
  • 从 [i, j - 1] 向右⾛⼀步,转移到 [i, j] 位置。

由于到 [i, j] 位置两种情况,并且我们要找的是最⼩路径,因此只需要这两种情况下的最⼩值,再加上 [i, j] 位置上本⾝的值即可。也就是: dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i-1][j-1]

  • 初始化(防止填表时不越界)

可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」,帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点

  • 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」;
  • 「下标的映射关系」。

「添加⼀⾏」,并且「添加⼀列」后,所有位置的值可以初始化为⽆穷⼤,然后让 dp[0][1] = dp[1][0] = 0 即可。

  • 填表顺序

根据「状态转移⽅程」的推导来看,填表的顺序就是「从上往下」填每⼀⾏,每⼀⾏「从左往 后」。

  • 返回值

根据「状态表⽰」,我们要返回的结果是 dp[m][n]。


代码实现

  • 时间复杂度:O(mn),其中 m 和 n 分别是网格的行数和列数。需要对整个网格遍历一次,计算 dp 的每个元素的值。

  • 空间复杂度:O(mn),其中 m 和 n 分别是网格的行数和列数。创建一个二维数组 dp,和网格大小相同。

  • 空间复杂度可以优化,例如每次只存储上一行的 dp 值,则可以将空间复杂度优化到 O(n)。

    class Solution {
    public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid)
    {
    int m = grid.size();
    int n = grid[0].size();
    vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,INT_MAX));

    复制代码
          dp[0][1] = dp[1][0] = 0;            // 初始化
    
          // 填表
          for (int i = 1; i <= m; i++)
          {
              for (int j = 1; j <= n; j++)
              {
                  dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]) + grid[i-1][j-1];
              }
          }
    
          return dp[m][n];
      }

    };

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