LeetCode刷题--- 最小路径和

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数据结构与算法

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前言：这个专栏主要讲述动态规划算法，所以下面题目主要也是这些算法做的

我讲述题目会把讲解部分分为3个部分：
1、题目解析

2、算法原理思路讲解

3、代码实现

最小路径和

题目链接：最小路径和

题目

给定一个包含非负整数的 m xn 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

**说明：**每次只能向下或者向右移动一步。

示例 1：

复制代码

输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2：

复制代码

输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12

提示：

m == grid.length
n == grid[i].length
1 <= m, n <= 200
0 <= grid[i][j] <= 200

解法

题目解析

给定一个包含非负整数的 m xn 网格 grid 。
找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
每次只能向下或者向右移动一步。

示例 1：

复制代码

输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

算法原理讲解

我们这题使用动态规划，我们做这类题目可以分为以下五个步骤

状态显示
状态转移方程
初始化（防止填表时不越界）
填表顺序
返回值

状态显示

dp $i$ $j$ 表⽰：到达 $i, j$ 位置处，最⼩路径和是多少。

状态转移方程

如果dp $i$ $j$ 表⽰到达到达 $i, j$ 位置处的最⼩路径和，那么到达 $i, j$ 位置之前的⼀⼩步，有两种情况：

从 $i - 1, j$ 向下⾛⼀步，转移到 $i, j$ 位置；
从 $i, j - 1$ 向右⾛⼀步，转移到 $i, j$ 位置。

由于到 $i, j$ 位置两种情况，并且我们要找的是最⼩路径，因此只需要这两种情况下的最⼩值，再加上 $i, j$ 位置上本⾝的值即可。也就是： dp $i$ $j$ = min(dp $i - 1$ $j$ , dp $i$ $j - 1$ ) + grid $i-1$ $j-1$

初始化（防止填表时不越界）

可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点

辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
「下标的映射关系」。

「添加⼀⾏」，并且「添加⼀列」后，所有位置的值可以初始化为⽆穷⼤，然后让 dp $0$ $1$ = dp $1$ $0$ = 0 即可。

填表顺序

根据「状态转移⽅程」的推导来看，填表的顺序就是「从上往下」填每⼀⾏，每⼀⾏「从左往后」。

返回值

根据「状态表⽰」，我们要返回的结果是 dp $m$ $n$ 。

代码实现

时间复杂度：O(mn)，其中 m 和 n 分别是网格的行数和列数。需要对整个网格遍历一次，计算 dp 的每个元素的值。
空间复杂度：O(mn)，其中 m 和 n 分别是网格的行数和列数。创建一个二维数组 dp，和网格大小相同。

空间复杂度可以优化，例如每次只存储上一行的 dp 值，则可以将空间复杂度优化到 O(n)。

class Solution {
public:
int minPathSum(vector<vector>& grid)
{
int m = grid.size();
int n = grid[0].size();
vector<vector> dp(m+1,vector(n+1,INT_MAX));

复制代码

      dp[0][1] = dp[1][0] = 0;            // 初始化

      // 填表
      for (int i = 1; i <= m; i++)
      {
          for (int j = 1; j <= n; j++)
          {
              dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]) + grid[i-1][j-1];
          }
      }

      return dp[m][n];
  }

};