面试算法100：三角形中最小路径之和

题目

在一个由数字组成的三角形中，第1行有1个数字，第2行有2个数字，以此类推，第n行有n个数字。例如，下图是一个包含4行数字的三角形。如果每步只能前往下一行中相邻的数字，请计算从三角形顶部到底部的路径经过的数字之和的最小值。从三角形顶部到底部的路径数字之和的最小值为11，对应的路径经过的数字用阴影表示。

说明：从三角形顶部到底部的路径数字之和的最小值为11，对应的路径经过的数字用阴影表示

分析

可以移动三角形每行的位置使它们左端对齐

可以用f（i，j）表示从三角形的顶部出发到达行号和列号分别为i和j（i≥j）的位置时路径数字之和的最小值，同时用Tij表示三角形行号和列号分别为i和j的数字。如果三角形中包含n行数字，那么f（n-1，j）的最小值就是整个问题的最优解。

解

public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        List<Integer> list1 = Arrays.asList(2);
        List<Integer> list2 = Arrays.asList(3, 4);
        List<Integer> list3 = Arrays.asList(6, 5, 7);
        List<Integer> list4 = Arrays.asList(4, 1, 8, 3);
        List<List<Integer>> triangle = Arrays.asList(list1, list2, list3, list4);
        int result = minimumTotal(triangle);
        System.out.println(result);

    }

    public static int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int size = triangle.size();
        int[][] dp = new int[size][size];
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                dp[i][j] = triangle.get(i).get(j);
                if (i > 0 && j == 0) {// 最左边
                    dp[i][j] += dp[i - 1][j];
                }
                else if (i > 0 && i == j) {// 最右边
                    dp[i][j] += dp[i - 1][j - 1];
                }
                else if (i > 0) {
                    dp[i][j] += Math.min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]);
                }
            }
        }

        int min = Integer.MAX_VALUE;
        for (int num : dp[size - 1]) {// 答案在最底层，选出一个最小的
            min = Math.min(min, num);
        }
        return min;
    }
}