降维算法
降维算法中的"降维"，指的是降低特征矩阵中特征的数量，其目的是为了让算法运算更快，效果更好，同时可以方便数据可视化。过高的维度特征维度的特征矩阵无法通过可视化，数据的性质也就比较难理解。其中主要用到的降维方法为PCA和SVD
PCA
在降维中，我们会减少特征的数量，这意味着删除数据，数据量变少则表示模型可以获取的信息会变少，模型的表现可能会因此受影响。同时，在高维数据中，必然有一些特征是不带有效的信息的（比如噪音），或者有一些特征带有的信息和其他特征的信息是重复的。我们希望能够找到一种方法来帮助我们衡量特征上所带的信息量，让我们在降维过程中，能偶既减少特征的数量，又保留大部分有效信息------将那些带有重复信息的特征合并，并删除那些带无效信息的特征等等------逐渐创造出能够代表原特征矩阵大部分信息的，特征更少的，新特征矩阵。
为了让降维后的特征能够包含最大差异性的主成分方向，我们通过计算数据矩阵的协方差矩阵，然后得到协方差矩阵的特征值特征向量，选择特征值最大的k个特征所对应的特征向量组成的矩阵。这样就可以讲数据矩阵转换到新的空间中，实现数据特征的降维。
计算得到协方差矩阵的特征值特征向量有两种方法：特征值分解协方差矩阵、奇异值分解协方差矩阵，所以PCA主要有两种方法：
基于特征值分解协方差矩阵实现PCA算法、基于SVD分解协方差矩阵实现PCA算法。
特征值分解协方差矩阵
样本方差：
math
\bar{x} = \frac{1}{n} \sum^N_{i=1}x_i 样本方差：
math
S^2 = \frac{1}{n-1}\sum^N_{i=1}(x_i - \bar{x})^2样本X和Y的协方差：
math
Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))] = \frac{1}{n-1} \sum^n_(i=1)(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})
python
import numpy as np
data_npy = np.array(data)
# 使用 numpy 按步骤实现 PCA
data_cov = np.cov(data_npy, rowvar=False)
# 将列也就是样本的特征看作变量，计算它们的协方差，我们得到的应该是一个 6 * 6 的矩阵
# 对协方差矩阵进行特征值分解
eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(data_cov)
# eigenvalue: 特征值，eigenvector: 特征向量print(eigenvalue,'\n', eigenvector)'''
# 将特征值排序
sorted_id = sorted(range(len(eigenvalue)), key=lambda k: eigenvalue[k], reverse=True)
# 返回降序排列好的特征值对应的索引
# 假设我们降到 2 维，即取最前面的两个特征向量
w = np.array([eigenvector[sorted_id[0]], eigenvector[sorted_id[1]]])SVD分解协方差矩阵
相较于特征值分解只适用于方阵，奇异值分解适合所有实数矩阵。设 m ∗ n m*n m∗n实矩阵 A A A，可将其分解为
math
A = U \Sigma V^T其中， U U U是满足 U T U = I U^TU=I UTU=I的m阶矩阵， U U U是满足 V T V = I V^TV=I VTV=I的n阶矩阵。 Σ \Sigma Σ是 m ∗ n m*n m∗n的矩阵，其中 ( Σ ) i i = σ i (\Sigma )_{ii} = \sigma_i (Σ)ii=σi，其位置元素均为0, σ i \sigma_i σi均为非负实数且满足 σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 ≥ . . . ≥ 0 \sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3 \ge ...\ge 0 σ1≥σ2≥σ3≥...≥0
其中 U U U的列向量陈伟矩阵 A A A的左奇异向量， V V V的列向量矩阵 A A A的右奇异向量。 σ i \sigma_i σi就是矩阵 A A A的奇异值，其个数等于 A A A的秩。
接下来我们看如何计算 U , Σ , V U,\Sigma , V U,Σ,V。
首先将要分解的 m × n m×n m×n的矩阵 A A A乘上它的转置，我们就可以得到一个 m × m m×m m×m的方阵 ( A A T ) (AA^T) (AAT)。那么是方阵的话我们就可以对其进行特征值分解，得到 ( A A T ) U = λ i U (AA^T)U={\lambda_{i}U} (AAT)U=λiU。这里的 U U U就是我们需要的那个 U U U。
同上一步，接下来将 A A A的转置乘上它本身，得到一个 n × n n×n n×n的方阵 ( A T A ) (A^TA) (ATA)。同样进行特征值分解，得到 ( A T A ) V = λ i V (A^TA)V = \lambda_i V (ATA)V=λiV 就可计算得到 V V V由：
math
A = U\Sigma V^T \Longrightarrow AV = U\Sigma V ^TV \Longrightarrow AV = U \Sigma \Longrightarrow
\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix} (v_1,v_2,...v_n) = (u_1, u_2,...u_n) \Sigma通过最后得出矩阵方程我们就可以解出 σ i \sigma_i σi，至此我们对 A A A的奇异值分解就结束了。
python
A = np.array([[1, 2, 8], [-1, 5, 10], [0, 2, 9], [2, 1, 7], [0, 3, 10]]) # shape: (5, 3)
s = np.linalg.svd(A) # 返回包含三个元素的tuple, 依次是U、Sigma和V^T
'''
(array([[-0.39725362, -0.28034428, 0.20685827, -0.83712199, -0.14153824],
[-0.52944196, 0.68764079, 0.41136745, 0.16104935, -0.22733515],
[-0.44192138, -0.11186842, -0.71914378, 0.15421894, -0.50123816],
[-0.33830158, -0.65916459, 0.4473559 , 0.49908567, -0.04289846],
[-0.50213375, 0.039303 , -0.26587853, 0.02049123, 0.821709 ]]),
array([20.78369486, 3.16909449, 0.99743079]),
array([[-0.02619432, -0.29687997, -0.95455547],
[-0.72144086, 0.66660144, -0.18752494],
[ 0.69198045, 0.68374323, -0.23164251]]))
'''
# 根据公式验证结果
Sigma = np.array([[s[1][0], 0, 0], [0, s[1][1], 0], [0, 0, s[1][2]], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]) # Sigma形状是(m, n), 即(5, 3)
A_ = np.linalg.multi_dot([s[0], Sigma, s[2]])
print(np.allclose(A, A_))
# True