文章目录
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- [1.4 主应力空间、八面体应力](#1.4 主应力空间、八面体应力)
- [1.5 应变分析](#1.5 应变分析)
- [1.6 特殊应力、应变定义](#1.6 特殊应力、应变定义)
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1.4 主应力空间、八面体应力
一点的应力状态不论如何变化，其主应力和主方向一致的话，该点的应力状态就是唯一确定的。因此，我们用主应力方向建立一个三维坐标系来描述问题将不失一般性，该坐标系如下图4，我们称之为主应力空间。我们考察等倾面组成的八面体，图中O'P点为等倾面ABC上面的应力向量 ( p 1 , p 2 , p 3 ) (p_1,p_2,p_3) (p1,p2,p3)，八面体为等倾面八面体，即面ABC的法线方向余弦为 ( 1 3 , 1 3 , 1 3 ) (\frac{1}{\sqrt 3},\frac{1}{\sqrt 3},\frac{1}{\sqrt 3}) (3 1,3 1,3 1)。将O'P分解
O ' P ‾ = O ' Q ‾ + O ' N ‾ (25) \overline {O'P}=\overline {O'Q}+\overline{O'N}\tag{25} O'P=O'Q+O'N(25)
图 4 八面体 图4八面体 图4八面体
取等倾面和三个轴的坐标面组成的四面体为研究对象，如下图5所示。
图 5 等倾面四面体 图5等倾面四面体 图5等倾面四面体
根据斜面应力公式 p j = σ i j n i p_j=\sigma_{ij}n_i pj=σijni，不难得到以下关系式（矩阵形式）
p 1 p 2 p 3 \] = \[ σ 1 0 0 0 σ 2 0 0 0 σ 2 \] \[ n 1 n 2 n 3 \] (26) \\begin{bmatrix} p_1 \\\\ p_2\\\\p_3 \\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix} \\sigma_1 \& 0 \& 0\\\\ 0 \& \\sigma_2 \& 0 \\\\0 \& 0 \& \\sigma_2 \\end{bmatrix}\\begin{bmatrix} n_1 \\\\ n_2\\\\n_3 \\end{bmatrix}\\tag{26} p1p2p3 = σ1000σ2000σ2 n1n2n3 (26) 其中 ( n 1 , n 2 , n 3 ) = ( 1 3 , 1 3 , 1 3 ) (n_1 ,n_2,n_3)=(\\frac{1}{\\sqrt 3},\\frac{1}{\\sqrt 3},\\frac{1}{\\sqrt 3}) (n1,n2,n3)=(3 1,3 1,3 1)为等倾面的法线方向余弦。 那么，有 σ 8 = \[ n 1 n 2 n 3 \] \[ p 1 p 2 p 3 \] = σ 1 n 1 2 + σ 2 n 2 2 + σ 3 n 3 2 = 1 3 ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = 1 3 I 1 (27) \\sigma_8 = \\begin{bmatrix} n_1 \& n_2 \& n_3 \\end{bmatrix}\\begin{bmatrix} p_1 \\\\ p_2\\\\p_3 \\end{bmatrix}=\\sigma_1n_1\^2+\\sigma_2n_2\^2+\\sigma_3n_3\^2=\\frac{1}{3}(\\sigma_1+\\sigma_2+\\sigma_3)=\\frac{1}{3}I_1 \\tag{27} σ8=\[n1n2n3\] p1p2p3 =σ1n12+σ2n22+σ3n32=31(σ1+σ2+σ3)=31I1(27) 八面体相应的剪应力为 τ 8 = p 2 − σ 8 2 = p 1 2 + p 2 2 + p 3 2 − ( σ 1 n 1 2 + σ 2 n 2 2 + σ 3 n 3 2 ) 2 = σ 1 2 n 1 2 + σ 2 2 n 2 2 + σ 3 2 n 3 2 − ( σ 1 n 1 2 + σ 2 n 2 2 + σ 3 n 3 2 ) 2 = 1 3 ( σ 1 2 + σ 2 2 + σ 3 2 ) − 1 9 ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) 2 = 1 3 3 ( σ 1 2 + σ 2 2 + σ 3 2 ) − ( σ 1 2 + σ 2 2 + σ 3 2 + 2 σ 1 σ 2 + 2 σ 1 σ 3 + 2 σ 2 σ 3 ) = 1 3 ( σ 1 − σ 2 ) 2 + ( σ 1 − σ 3 ) 2 + ( σ 2 − σ 3 ) 2 = 2 3 J 2 = 1 3 s i j s i j (28) \\tau_8 = \\sqrt{p\^2-\\sigma_8\^2}=\\sqrt{p_1\^2+p_2\^2+p_3\^2-(\\sigma_1n_1\^2+\\sigma_2n_2\^2+\\sigma_3n_3\^2)\^2}\\\\ =\\sqrt{\\sigma_1\^2n_1\^2+\\sigma_2\^2n_2\^2+\\sigma_3\^2n_3\^2-(\\sigma_1n_1\^2+\\sigma_2n_2\^2+\\sigma_3n_3\^2)\^2}\\\\ =\\sqrt{\\frac{1}{3}(\\sigma_1\^2+\\sigma_2\^2+\\sigma_3\^2)-\\frac{1}{9}(\\sigma_1+\\sigma_2+\\sigma_3)\^2}\\\\ =\\frac{1}{3}\\sqrt{3(\\sigma_1\^2+\\sigma_2\^2+\\sigma_3\^2)-(\\sigma_1\^2+\\sigma_2\^2+\\sigma_3\^2+2\\sigma_1\\sigma_2+2\\sigma_1\\sigma_3+2\\sigma_2\\sigma_3)}\\\\ =\\frac{1}{3}\\sqrt{(\\sigma_1-\\sigma_2)\^2+(\\sigma_1-\\sigma_3)\^2+(\\sigma_2-\\sigma_3)\^2}=\\sqrt{\\frac{2}{3}J_2}=\\sqrt{\\frac{1}{3}s_{ij}s_{ij}} \\tag{28} τ8=p2−σ82 =p12+p22+p32−(σ1n12+σ2n22+σ3n32)2 =σ12n12+σ22n22+σ32n32−(σ1n12+σ2n22+σ3n32)2 =31(σ12+σ22+σ32)−91(σ1+σ2+σ3)2 =313(σ12+σ22+σ32)−(σ12+σ22+σ32+2σ1σ2+2σ1σ3+2σ2σ3) =31(σ1−σ2)2+(σ1−σ3)2+(σ2−σ3)2 =32J2 =31sijsij (28) ##### 1.5 应变分析 应变分析的内容同应力分析内容，只是注意一点，应变张量和工程应变在剪应变分量是不同的，定义如下。 \[ ε x x ε y x ε z x ε x y ε y y ε z y ε x z ε y z ε z z \] = \[ ε x x 1 2 γ y x 1 2 γ z x 1 2 γ x y ε y y 1 2 γ z y 1 2 γ x z 1 2 γ y z ε z z \] (29) \\begin{bmatrix} \\varepsilon_{xx} \& \\varepsilon_{yx} \& \\varepsilon_{zx}\\\\ \\varepsilon_{xy} \& \\varepsilon_{yy} \& \\varepsilon_{zy}\\\\ \\varepsilon_{xz} \& \\varepsilon_{yz} \& \\varepsilon_{zz} \\end{bmatrix}= \\begin{bmatrix} \\varepsilon_{xx} \& \\frac{1}{2}\\gamma_{yx} \& \\frac{1}{2}\\gamma_{zx}\\\\ \\frac{1}{2}\\gamma_{xy} \& \\varepsilon_{yy} \& \\frac{1}{2}\\gamma_{zy}\\\\ \\frac{1}{2}\\gamma_{xz} \& \\frac{1}{2}\\gamma_{yz} \& \\varepsilon_{zz} \\end{bmatrix}\\tag{29} εxxεxyεxzεyxεyyεyzεzxεzyεzz = εxx21γxy21γxz21γyxεyy21γyz21γzx21γzyεzz (29) 同样定义应变偏张量，有如下形式 \[ e x x e y x e z x e x y e y y e z y e x z e y z e z z \] = \[ ε x x ε y x ε z x ε x y ε y y ε z y ε x z ε y z ε z z \] − \[ ε m 0 0 0 ε m 0 0 0 ε m \] (30) \\begin{bmatrix} e_{xx} \& e_{yx} \& e_{zx}\\\\ e_{xy} \& e_{yy} \& e_{zy}\\\\ e_{xz} \& e_{yz} \& e_{zz} \\end{bmatrix}= \\begin{bmatrix} \\varepsilon_{xx} \& \\varepsilon_{yx} \& \\varepsilon_{zx}\\\\ \\varepsilon_{xy} \& \\varepsilon_{yy} \& \\varepsilon_{zy}\\\\ \\varepsilon_{xz} \& \\varepsilon_{yz} \& \\varepsilon_{zz} \\end{bmatrix}-\\begin{bmatrix} \\varepsilon_{m} \& 0 \& 0\\\\ 0 \& \\varepsilon_{m} \& 0\\\\ 0 \& 0 \& \\varepsilon_{m} \\end{bmatrix}\\tag{30} exxexyexzeyxeyyeyzezxezyezz = εxxεxyεxzεyxεyyεyzεzxεzyεzz − εm000εm000εm (30) 其中 ε m = 1 3 ( ε x x + ε y y + ε z z ) \\varepsilon_{m}=\\frac{1}{3}(\\varepsilon_{xx}+\\varepsilon_{yy}+\\varepsilon_{zz}) εm=31(εxx+εyy+εzz) ##### 1.6 特殊应力、应变定义 定义应力强度或等效应力 σ ‾ \\overline\\sigma σ为 σ ‾ = 3 J 2 = 3 2 s i j s i j = 1 2 \[ ( σ 1 − σ 2 ) 2 + ( σ 1 − σ 3 ) 2 + ( σ 2 − σ 3 ) 2 \] = 1 2 \[ ( σ x x − σ y y ) 2 + ( σ x x − σ z z ) 2 + ( σ y y − σ z z ) 2 + 6 ( τ x z 2 + τ x y 2 + τ y z 2 ) \] (31) \\overline\\sigma=\\sqrt{3J_2}=\\sqrt{\\frac{3}{2}s_{ij}s_{ij}}\\\\ =\\sqrt{\\frac{1}{2}\[(\\sigma_{1}-\\sigma_{2})\^2+(\\sigma_{1}-\\sigma_{3})\^2+(\\sigma_{2}-\\sigma_{3})\^2\]}\\\\ =\\sqrt{\\frac{1}{2}\[(\\sigma_{xx}-\\sigma_{yy})\^2+(\\sigma_{xx}-\\sigma_{zz})\^2+(\\sigma_{yy}-\\sigma_{zz})\^2+6(\\tau_{xz}\^2+\\tau_{xy}\^2+\\tau_{yz}\^2)\]} \\tag{31} σ=3J2 =23sijsij =21\[(σ1−σ2)2+(σ1−σ3)2+(σ2−σ3)2\] =21\[(σxx−σyy)2+(σxx−σzz)2+(σyy−σzz)2+6(τxz2+τxy2+τyz2)\] (31) 定义应变强度或等效应变 ε ‾ \\overline \\varepsilon ε为 ε ‾ = 2 3 e i j e i j (32) \\overline \\varepsilon=\\sqrt{\\frac{2}{3}e_{ij}e_{ij}} \\tag{32} ε=32eijeij (32) 定义剪切等效应力 T ‾ \\overline T T为 T ‾ = 1 2 s i j s i j (33) \\overline T=\\sqrt{\\frac{1}{2}s_{ij}s_{ij}} \\tag{33} T=21sijsij (33) 定义剪切等效应变 Γ ‾ \\overline\\Gamma Γ为 Γ ‾ = 2 e i j e i j (34) \\overline\\Gamma=\\sqrt{2e_{ij}e_{ij}} \\tag{34} Γ=2eijeij (34) 加上上面定义的八面体剪应力、八面体剪应变 τ 8 = 1 3 s i j s i j γ 8 = 4 3 e i j e i j (35) \\tau_8=\\sqrt{\\frac{1}{3}s_{ij}s_{ij}}\\\\ \\gamma_8=\\sqrt{\\frac{4}{3}e_{ij}e_{ij}}\\tag{35} τ8=31sijsij γ8=34eijeij (35) 至于为什么定义这些应力应变，我们在后面再介绍。