解题思路
求两个数组或者字符串的最长公共子序列问题，肯定是要用动态规划的。下面的题解并不难，你肯定能看懂。
首先，区分两个概念：子序列可以是不连续的；子数组（子字符串）需要是连续的；
另外，动态规划也是有套路的：单个数组或者字符串要用动态规划时，可以把动态规划 dpi 定义为 nums0:i 中想要求的结果；当两个数组或者字符串要用动态规划时，可以把动态规划定义成两维的 dpij ，其含义是在 A0:i 与 B0:j 之间匹配得到的想要的结果。
- 状态定义
比如对于本题而言，可以定义 dpij 表示 text10:i-1 和 text20:j-1 的最长公共子序列。 （注：text10:i-1 表示的是 text1 的 第 0 个元素到第 i - 1 个元素，两端都包含）
之所以 dpij 的定义不是 text10:i 和 text20:j ，是为了方便当 i = 0 或者 j = 0 的时候，dpij表示的为空字符串和另外一个字符串的匹配，这样 dpij 可以初始化为 0.
- 状态转移方程
知道状态定义之后，我们开始写状态转移方程。
当 text1i - 1 == text2j - 1 时，说明两个子字符串的最后一位相等，所以最长公共子序列又增加了 1，所以 dpij = dpi - 1j - 1 + 1；举个例子，比如对于 ac 和 bc 而言，他们的最长公共子序列的长度等于 a 和 b 的最长公共子序列长度 0 + 1 = 1。
当 text1i - 1 != text2j - 1 时，说明两个子字符串的最后一位不相等，那么此时的状态 dpij 应该是 dpi - 1j 和 dpij - 1 的最大值。举个例子，比如对于 ace 和 bc 而言，他们的最长公共子序列的长度等于 ① ace 和 b 的最长公共子序列长度0 与 ② ac 和 bc 的最长公共子序列长度1 的最大值，即 1。
综上状态转移方程为：
dpij=dpi−1j−1+1dpij = dpi - 1j - 1 + 1dpij=dpi−1j−1+1, 当 text1i−1==text2j−1;text1i - 1 == text2j - 1;text1i−1==text2j−1;
dpij=max(dpi−1j,dpij−1)dpij = max(dpi - 1j, dpij - 1)dpij=max(dpi−1j,dpij−1), 当 text1i−1!=text2j−1text1i - 1 != text2j - 1text1i−1!=text2j−1
- 状态的初始化
初始化就是要看当 i = 0 与 j = 0 时， dpij 应该取值为多少。
当 i = 0 时，dp0j 表示的是 text1text1text1 中取空字符串 跟 text2text2text2 的最长公共子序列，结果肯定为 0.
当 j = 0 时，dpi0 表示的是 text2text2text2 中取空字符串 跟 text1text1text1 的最长公共子序列，结果肯定为 0.
综上，当 i = 0 或者 j = 0 时，dpij 初始化为 0.
- 遍历方向与范围
由于 dpij 依赖与 dpi - 1j - 1 , dpi - 1j, dpij - 1，所以 iii 和 jjj 的遍历顺序肯定是从小到大的。
另外，由于当 iii 和 jjj 取值为 0 的时候，dpij = 0，而 dp 数组本身初始化就是为 0，所以，直接让 iii 和 jjj 从 1 开始遍历。遍历的结束应该是字符串的长度为 len(text1)len(text1)len(text1) 和 len(text2)len(text2)len(text2)。
- 最终返回结果
由于 dpij 的含义是 text10:i-1 和 text20:j-1 的最长公共子序列。我们最终希望求的是 text1 和 text2 的最长公共子序列。所以需要返回的结果是 i = len(text1) 并且 j = len(text2) 时的 dplen(text1)len(text2)。
代码如下：
java
class Solution {
public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
int m = text1.length();
int n = text2.length();
int[][] dp = new int[m+1][n+1];
for(int i = 1; i <= m;i++){
for(int j = 1; j <= n;j++){
if(text1.charAt(i-1) == text2.charAt(j-1)){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
}
else{
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
}
}
}
return dp[m][n];
}
}