蓝桥杯备赛 week 1 —— DP 背包问题

[📁 01背包问题](#📁 01背包问题)

[📁 完全背包问题](#📁 完全背包问题)

[📁 总结](#📁 总结)

🌈前言🌈：

这篇文章主要是准备蓝桥杯竞赛同学所写，为你更好准备蓝桥杯比赛涉及的算法知识点。不知道你是否苦恼于不知算法从何学起，苦恼于网上资料稀少，或者复杂难懂，这篇文章就是帮助这部分同学的。

本篇文章适合基础较弱或零基础的同学，不会涉及晦涩难懂的公式，只是提供算法的思路，题解会从基础讲解，不会涉及大量复杂的证明，重要的是学废思想。

背包问题分为很多种，因为是基础学习，所以只是讲解最为简单的两种背包问题，其他的背包问题基本都是变形，例如多重背包问题。

01背包问题是有N种物品，每种物品就1件，让我们求在不超过背包容量M的前提下，拿到的物品总价值是多少。

完全背包问题是有N种物品，每种物品无限件，求在不超过背包容量M的前提下，最大物品价值是多少。

📁 01背包问题

2. 01背包问题 - AcWing题库

分析：

首先，我们拿到一道题目，首先要读懂题目。题目说，有N种物品，每种物品是1件。我们首先想到的肯定是暴力解法，通过不断的枚举来求出最大价值，例如第一件物品选不选，第二件物品选不选的思路来做。

这么想是没有问题的，这就是回溯算法，但是有个弊端是时间复杂度很高，达到2^N，所以我们就得换个思路了。

dp数组求解：

这里介绍一个B站up主大雪莱的一种方法，可以解决很多dp问题，即闫氏dp分析法。

i 表示前 i 件物品； j 表示当前体积；dp[ i ][ j ] 任取前 i 个物品在总体积不超过 j 的所有选法的最大值。（重点理解！！！）

我们通过枚举 j 从 0 到 M 求出，在当前 j 体积的情况下，选取前 i 件物品价值的最大值。

所以背包问题就是递推的问题，由小到大求出最大价值。而题目就是让我们求前n个物品总体重不超过m的情况，所以我们最后输出dp[n][m]即可。

举个例子，如下图所示。当前 i = 1 时，从第一件物品选择，总体积不超过 0,1,2 的情况下的最大值。

如果，你理清了上面这两幅图片，你也就搞懂了01背包问题了。下面，我们来看一下代码。

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N =1010;
    
int n,m;          n表示物品数量，m表示背包容量
int w[N],v[N];    w表示体重，v表示价值
int dp[N][N];

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>w[i]>>v[i];
        
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            if(j >= w[i])
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
            else
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
        }
    cout<<dp[n][m]<<endl;
    return 0;
}

优化：滚动数组：

以上就是通过二维数组来实现01背包问题，在做题过程中，我们发现第 i 层的最大值，是通过第 i - 1层推导出来的。

这里，我们就可以进行优化，将二维数组变为一维数组。因为 i 的作用就是标明前i个物品，而我们只是用了 i-1层和 i层，这两层，因此就可以将上一层拷贝到下一层。

如下图所示，我们可以定义一个一维数组，从后往前枚举。因为是一维数组，并且我们要进行递推，所以前面会影响后面，如果我们从往后枚举，就不是上一层的最大值了（重点理解！！）

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N =1010;

int n,m;
int w[N],v[N];
int dp[N];

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>w[i]>>v[i];
        
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=m;j>=w[i];j--)
        {
            dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]] + v[i]);
        }
    cout<<dp[m]<<endl;
    return 0;
}

01背包问题，如果是初次接触，可能稍微有点繁琐，绕。所以需要自己多多画图，不断调试代码，画出每一层的每个选法的最大值方便更好的理解。

📁 完全背包问题

3. 完全背包问题 - AcWing题库

本文寻寻渐进的，如果你还没有搞懂01背包问题可能还需要多花时间理解，对于完全背包问题，也只是对01背包优化后一维数组的变形。

01背包的一维数组优化是从后往前遍历的，而完全背包问题则是从前往后遍历的。就这一点不同。

如果从前往后遍历，就意味着第i个物品可以选多个，所以就可以比较上一层的dp[ j ] 和再选依次第i个物品的总价值。因为完全背包问题每种物品可以选择多次。

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int dp[N];

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>w[i]>>v[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=w[i];j<=m;j++)
            dp[j] =max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
            
    cout<<dp[m]<<endl;
    
    return 0;
}

📁 总结

以上，就是dp问题中基础的背包问题，以01背包为例子，如何分析dp背包问题，以及讲解01背包问题的优化，从而讲解了完全背包问题。

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