倍增LCA，LeetCode 2846. 边权重均等查询

一、题目

1、题目描述

2、接口描述

3、原题链接

一、题目

1、题目描述

现有一棵由 n 个节点组成的无向树，节点按从 0 到 n - 1 编号。给你一个整数 n 和一个长度为 n - 1 的二维整数数组 edges ，其中 edges[i] = [ui, vi, wi] 表示树中存在一条位于节点 ui 和节点 vi 之间、权重为 wi 的边。

另给你一个长度为 m 的二维整数数组 queries ，其中 queries[i] = [ai, bi] 。对于每条查询，请你找出使从 ai 到 bi 路径上每条边的权重相等所需的 最小操作次数 。在一次操作中，你可以选择树上的任意一条边，并将其权重更改为任意值。

注意：

查询之间 相互独立 的，这意味着每条新的查询时，树都会回到 初始状态 。

从 ai 到 bi的路径是一个由不同节点组成的序列，从节点 ai 开始，到节点 bi 结束，且序列中相邻的两个节点在树中共享一条边。

返回一个长度为 m 的数组 answer ，其中 answer[i] 是第 i 条查询的答案。

2、接口描述

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cpp 复制代码

class Solution {
public:
    vector<int> minOperationsQueries(int n, vector<vector<int>>& edges, vector<vector<int>>& queries) {
        
    }
};

3、原题链接

2846. 边权重均等查询

二、解题报告

1、思路分析

关于ST表见：高级搜索------ST表，离线RMQ问题-CSDN博客

关于倍增法求LCA见：LCA算法-倍增算法-CSDN博客

对于树中任意两个点之间的路径我们都可以转化为两点各自到lca的路径拼接，所以这是一道典型的lca问题

所以不难求出a到b的路径，那么最小操作次数怎么求呢？对于路径上的边权我们发现取值在 $1,26$ 之间，如果路径上边权的众数出现次数为k，那么最小操作次数就是len(path) - k

因而我们先求LCA，然后对于每个查询我们找出k，然后该查询的答案就是len(path) - k

len(path) = depth(x) +depth(y) - depth(lca) * 2

那么如何求出现次数最多的边权呢？

其实也能用倍增法解决

我们开一个数组cnt $x$ $i$ $w$ ，表示节点x向上2^i次方层路径上的边权为w的边数，我们怎么预处理cnt\[\]\[\]\[\]呢？

在LCA预处理过程中更新即可，我们发现cnt $x$ $i$ $w$ = cnt $x$ $i - 1$ $w$ + cnt $fa\[x$ $i - 1$ ] $i - 1$ $w$

显然也能用倍增法解决

然后后面查询lca的时候记录路径上出现次数最多的边权即可

2、复杂度

时间复杂度： O(U(n + m)logn)空间复杂度：O(Unlogn)

3、代码详解

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cpp 复制代码

typedef pair<int, int> pii;
int f[10010][15], depth[10010], cnt[10010][15][27];
class Solution
{
public:
    vector<int> minOperationsQueries(int n, vector<vector<int>> &edges, vector<vector<int>> &queries)
    {
        memset(f, 0, sizeof(f)), memset(depth, 0, sizeof(depth)), memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
        vector<int> res;
        vector<vector<pii>> g(n + 1);
        for (auto &e : edges)
            g[e[0] + 1].emplace_back(e[1] + 1, e[2]), g[e[1] + 1].emplace_back(e[0] + 1, e[2]);
        function<void(int, int)> dfs = [&](int x, int fa)
        {
            depth[x] = depth[fa] + 1 , f[x][0] = fa;
            for (int i = 1; i < 15; i++)
            {
                f[x][i] = f[f[x][i - 1]][i - 1];
                if (f[x][i - 1])
                    for (int w = 1; w <= 26; w++)
                        cnt[x][i][w] = cnt[x][i - 1][w] + cnt[f[x][i - 1]][i - 1][w];
            }
            for (auto [y, w] : g[x])
                if (y != fa)
                    cnt[y][0][w] = 1, dfs(y, x);
        };
        dfs(1, 0);
        for (auto &q : queries)
        {
            int x = q[0] + 1, y = q[1] + 1;
            int cntw[27]{0}, len = depth[x] + depth[y];
            if (depth[x] < depth[y])
                swap(x, y);
            for (int i = 14; i >= 0; i--)
                if (depth[f[x][i]] >= depth[y])
                {
                    for (int w = 1; w <= 26; w++)
                        cntw[w] += cnt[x][i][w];
                    x = f[x][i];
                }
            if (x != y)
            {
                for (int i = 14; i >= 0; i--)
                {
                    if (f[x][i] != f[y][i])
                    {
                        for (int w = 1; w <= 26; w++)
                            cntw[w] += cnt[x][i][w] + cnt[y][i][w];
                        x = f[x][i], y = f[y][i];
                    }
                }
                for (int w = 1; w <= 26; w++)
                    cntw[w] += cnt[x][0][w] + cnt[y][0][w];
                x = f[x][0];
            }
            int lca = x;
            len -= (depth[lca] << 1);
            res.emplace_back(len - *max_element(cntw + 1, cntw + 27));
        }
        return res;
    }
};