目录
[一. 介绍](#一. 介绍)
[二. Ring-SIS问题相关的参数](#二. Ring-SIS问题相关的参数)
[三. Ring-SIS问题定义](#三. Ring-SIS问题定义)
[四. 相比SIS问题的优点](#四. 相比SIS问题的优点)
[五. 与SIS问题之间的关系](#五. 与SIS问题之间的关系)
一. 介绍
在1998年，有关多项式环密码系统NTRU被提出。Ajtai提出了原始的SIS问题。
在2002年，Micciancio发现可以将这两者结合，提出了效率更高的密码学上问题，也就是本文章将要介绍的SIS问题，已经对应的函数
。
在格密码专栏中，我将陆续更新Ring-SIS问题的定义，它与原始SIS问题的关系，其在最坏情况（worst case）下的困难性分析。而且还包含在环结构下，形成一个新的概念叫理想格（ideal lattice）。
二. Ring-SIS问题相关的参数
通常我们可以把环结构R看成一个次数为n的多项式，完整结构如下：
下面的多项式有f(x)有两者常用的结构。第一个是2002年提出的：
第二个是2008年被提出，其指数是2的幂形式，如下：
这个地方可以直观上把环R看成任意多项式模f(X)运算的结果，这样的话，最终就是一个整数的多项式，其次数小于n
环R内的每个元素，也有模的理解，通常写做：
可以简单将其看成扩展的系数向量对应的模长。在环R上选择一个向量z，那么其模长可理解为：
如果对以上多项式的系数大小进行限制的话，那么可以把每个数都模q，那么可以形成新的环，如下：
那么现在每个环上的元素代表次数小于n，系数从整数环Zq内进行选取的元素。
Ring-SIS问题的关键在于限定结果的模长，那么需要给定一个实数模的上限，如下：
样本的个数通常设定为m
在SIS问题中，同样的几个参数：次数n，模q，长度上限
。当然相比SIS问题中的m，Ring-SIS问题只需要少n倍的样本个数即可。
三. Ring-SIS问题定义
带参数的环SIS问题，可简写为如下：
给定m个均匀且随机分布的a，如下：
也可以将其写成向量的格式如下：
在满足如下等式的情况下：
我们的目标是寻找到对应的非零向量z，如下：
注意此处的z为m维向量，向量的每个位置都是一个多项式。
四. 相比SIS问题的优点
Ring-SIS问题的效率性更高一点。解释如下：
在Ring-SIS中，样本a的格式如下：
为了需要保证短解的存在，样本的个数是有要求的：
然而在原始的SIS问题中，需要多n倍的样本，如下：
简单给个解释。从环内任意取一个元素：
该元素就是一个次数小于n的多项式，所以其短的情况个数有：
这些短解将会作为a的系数。
然而在SIS问题中，a的格式如下：
其短解存在的个数会更少一些。
在计算意义上，环结构的效率也要更高一些。在Ring-SIS问题，我们需要计算如下：
利用FFT技术，我们计算的复杂度只需要拟线性（quasi-linear）时间，通常记为：
选择合适的模数q和样本数m，那么计算如下函数也近似拟线性时间：
五. 与SIS问题之间的关系
SIS问题与Ring-SIS问题之间有相似的代数性质。在网络安全领域，一个密码系统两者之间往往可以互相转换。当然这种转换往往需要说清楚其中的安全性证明（security proof)。
在这里我将举一个例子来解释有环结构和无环结构之间的联系。
在Ring-SIS中，我们需要均匀且随机的取一个环元素，如下：
在SIS中这对应着n维的向量，当然向量不同位置元素之间是有联系的，如下：
可以把此处的n看成整数Z上环R的系数（degree）。
那么借助这种理解，环-SIS问题的答案格式如下：
就对应着SIS问题答案中的n个整数。
根据经验主义，原始SIS问题带有一种特殊的结构（instance），就可以形成Ring-SIS.
（1）利用格的观点看环多项式
可以把环R内的元素看成由整数格基产生，那么环R则是n维的，对应关系如下：
类似的，可得：
这种对应关系其实就是抽象代数中的加法群同态（additive group isomorphism）。在这种理解下，短解是可以类推的。
可以把环R的结构看成如下：
那么单项式
对应着第(i+1)个基向量e，如下：
那么环-SIS问题中的z格式如下：
对应SIS中的维度也就是nm，如下：
（2）环内乘法
如果从商环中选择一个元素a，如下：
让后将任意其他环元素进行与之相乘，那么就相当于是一种Z-Linear函数运算过程：
R to Rq
将此相乘的过程可以看成乘以一个n维方阵，如下：
看成矩阵相乘的话，那么这个过程对应着映射：
to 
比如我们来看一个例子。
给定一个环结构如下：
那么商环Rq内的元素a就对应着循环矩阵，矩阵第一列的元素就是系数向量a。这样子来看的话，我们可以从Ring-SIS中给出一个instance，如下：
每一个ai都对应着一个循环矩阵，那么其在SIS中对应的instance如下：
以上理解的根源来自于抽象代数（abstract algebra），有很多跟群环域相关的理解，有时间的话，在本专栏会陆续补充相关的基础数学在网络安全中的应用。