C++ 数论相关题目，博弈论，SG函数，集合-Nim游戏

伏城无嗔2024-02-01 6:05

给定 n

堆石子以及一个由 k

个不同正整数构成的数字集合 S

。

现在有两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿取石子，每次拿取的石子数量必须包含于集合 S

，最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。

输入格式

第一行包含整数 k

，表示数字集合 S

中数字的个数。

第二行包含 k

个整数，其中第 i

个整数表示数字集合 S

中的第 i

个数 si

。

第三行包含整数 n

。

第四行包含 n

个整数，其中第 i

个整数表示第 i

堆石子的数量 hi

。

输出格式

如果先手方必胜，则输出 Yes。

否则，输出 No。

数据范围

1≤n,k≤100

1≤si,hi≤10000

输入样例：

2 5

2 4 7

输出样例：

Yes

SG函数：表示当前状态所不能到达状态中最小的自然数。

必胜状态：SG不等于0；

必败状态：SG等于0。

如果有多个图，将每个初始的SG值异或，等于0必败，不等于0必胜。

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <unordered_set>

using namespace std;

const int M = 110, N = 10010;

int m, n;
int s[M], f[N]; //s存可以取的数，f表明一个状态的sg值，一个状态是一个数，一个确定石子个数的堆可以分解成一个图表示状态。

int sg(int x)
{
    if(f[x] != -1) return f[x]; //避免重复计算，如果x状态算过的话，就直接返回这个状态的sg值
    
    unordered_set<int> S;//存能到达的状态的sg值。
    for(int i = 0; i < m; i ++ ) //遍历每一个图（堆，石子堆）
        if(x >= s[i])
            S.insert(sg(x - s[i]));
    
    for(int i = 0; ; i ++ )
        if(!S.count(i)) //找到最小的不存在的状态自然数，说明当前状态的sg值就是i这个数
            return f[x] = i;
    
}

int main ()
{
    cin>>m;
    for(int i = 0; i < m; i ++ ) cin>>s[i];
    
    cin>>n;
    
    memset(f, -1, sizeof f);
    
    int res = 0;
    while(n -- )
    {
        int x;
        cin>>x;
        res ^= sg(x);
    }
    
    if(res) puts("Yes");
    else puts("No");
    
    return 0;
}