C++ 数论相关题目 博弈论：拆分-Nim游戏

给定 n

堆石子，两位玩家轮流操作，每次操作可以取走其中的一堆石子，然后放入两堆规模更小的石子（新堆规模可以为 0

，且两个新堆的石子总数可以大于取走的那堆石子数），最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。

输入格式

第一行包含整数 n

。

第二行包含 n

个整数，其中第 i

个整数表示第 i

堆石子的数量 ai

。

输出格式

如果先手方必胜，则输出 Yes。

否则，输出 No。

数据范围

1≤n,ai≤100

输入样例：

2

2 3

输出样例：

Yes

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <unordered_set>

using namespace std;

const int N = 110;
int n;
int f[N];//存i个状态的sg值

int sg(int x)
{
    if(f[x] != -1) return f[x];
    
    unordered_set<int> S; //哈希表存储每个局面可以到的局面
                          //这个地方特别关键：在集合的Nim游戏中，我们可以明显的知道可以到的下一个状态是什么
                          //比如(x - s[i])，这道题里面需要遍历一下所有可能到达的状态，并且异或起来
    for(int i = 0; i < x; i ++ )
        for(int j = 0; j <= i; j ++) //用i和j表示分成的两个状态
            S.insert(sg(i) ^ sg(j));
    
    for(int i = 0; ; i ++ )
        if(!S.count(i))
            return f[x] = i;
}


int main ()
{
    cin>>n;
    
    memset(f, -1, sizeof f); // 记忆化搜索，因为sg值都是自然数，所以初始化成-1，代表没有求过
    
    int res = 0;
    while(n -- )
    {
        int x;
        cin>>x;
        res ^= sg(x);
    }
    
    if(res) puts("Yes");
    else puts("No");
    
    return 0;
}