前言
今天浅谈一下数位dp的板子，我最初接触到数位dp的时候，感觉数位dp老难了，一直不敢写，最近重新看了一些数位dp，发现没有想象中那么难，把板子搞会了，变通也会变的灵活的多！
引入
以一道例题作为数位dp的引入，题目如下，链接
数据范围为1e9，一般的算法很难把这道题拿下，类似求在一段区间范围内，满足某些条件的数字的个数，并且数据范围很大时就会联想到数位dp算法。
第一个板子
我遇到的数位dp板子有三个，第一个来源于y总的讲解，附上链接和这道题的代码，y总的讲解逻辑清晰，想学习可以直接看视频。
java
import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.StreamTokenizer;
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int[][] f = new int[11][10];
static int k;
public static void main(String[] args) throws IOException {
StreamTokenizer sc=new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
sc.nextToken();
//Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int t = (int)sc.nval;
while(t> 0) {
t--;
sc.nextToken();
k = (int)sc.nval;
sc.nextToken();
int l = (int)sc.nval;
sc.nextToken();
int r = (int)sc.nval;
//int l = scanner.nextInt();
//int r = scanner.nextInt();
for (int i = 0; i < 11; i++) {
Arrays.fill(f[i], 0);
}
init();
System.out.println(dp(r) - dp(l - 1));
//dp(r);
}
return;
}
private static int dp(int num) {
// TODO Auto-generated method stub
if(num == 0) {
return 0;
}
int res = 0;
int last = 0;//上一个位数的数字
int[] nu = new int[12];
int n = 1;
while (num > 0 ) {
nu[n++] = num%10;
num = num / 10;
}
n--;
//System.out.println(n);
for (int i = n; i > 0; i--) {//遍历位数
int x = nu[i];
int jj;
if(i == n) {
jj = 1;
}else {
jj = 0;
}
//System.out.println(x);
//System.out.println(last);
for (; jj < x; jj++) {//遍历该位数上可以填的数字
if(Math.abs(jj - last) <= k || i == n) {
//System.out.println("mm" + i);
res += f[i][jj];
}
}
if(Math.abs(x-last) <= k || i == n) {
last = x;
//System.out.println("1111");
}else {
break;
}
if(i==1) {
res++;
}
}
//加包含前导0的，其实就是加上不是和num同位数的数字，
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < 10; j++) {//从1开始
res += f[i][j];
}
}
//System.out.println(res);
return res;
}
private static void init() {
// TODO Auto-generated method stub
for (int i = 0; i < 10; i++) {//初始化只有一位数字的时候，一定符合要求
f[1][i] = 1;//注意i一定从0开始
}
for (int i = 2; i < 10; i++) {//初始化其它位数的数字
for (int j = 0; j < 10; j++) {//注意，这里可以包含0
for (int m = 0; m < 10; m++) {
if(Math.abs(m-j) <= k) {
f[i][j] += f[i-1][m];
}
}
}
}
}
}第二个板子
- 求区间[L,R]内符合条件的数字，转换为求区间[0,L-1]与[0,R]内符合条件的数字个数，答案就是这两个做差。
- 在遍历数字的时候，先遍历数字的位数，假设我要求[0,R]内满足条件的数字，R的位数为cnt，在遍历cnt的时候我要注意，不能超过R，如果R是23456，那么第cnt位能够选择的数字范围是[0,2]。如果我第cnt位选择了1，在遍历cnt-1位的时候我就不需要考虑遍历数字是否越界问题，因为cnt位已经决定了后面的位数怎么选都不会比23456大。如果第cnt位选择了2，在遍历cnt-1位时我可以填的范围就变成了[0,3]，所以我需要有一个变量记录当前我前面选择的数字是否是贴上界的，令这个变量为limit，如果limit=1，当前位数可以选择的数字上界是a[cnt]，否则就是9，其中数组a是把23456拆分的结果，拆分代码如下
java
int cnt = 0;
while(n > 0) {
a[++cnt] = (int) (n%10);
n/=10;
}根据上述分析，会有如下代码，
java
int up = limit==1?a[cnt]:9;//求当前位数最大能够填的数字
limit&(i==up?1:0)//下一个limit是否还等于1，i表示当前位数填的数字，如果填了最大的那个数，且当前的limit是1，则填下一位数时能够填的最大数字也是受约束的up表示当前位数可以填的数字上界。
-
接下来处理一下前导零，如果前导零的存在不会影响结果，那么不需要处理，否则就要处理一下前导零。比如求包含2和4的数字个数就不需要处理前导0，因为他不影响结果。如果要求数字各个位数不为0
假设我要求[0,R]内满足条件的数字，R的位数为cnt，在遍历cnt的时候我要注意，在这个位置填的0就是前导0，如果我在这个位置填了0，再去遍历第cnt-1位数字时，这里填的0还是前导0.如果我第cnt位没有填0，那么我在cnt-1位填的0就不是前导0，他是有效的一维数，就像001和101一样，00里面的0都是前导0，是无效的。而10里的0是十位上的0，是有效的。我们用zeros来表示当前位的0是否是前导0，第cnt位的0肯定是前导0，如果第cnt位填了0，第cnt-1位的0才是前导0，否则就不是。所以有
zeros&(i==0?1:0)//表示下一位的zeros是否是0，i表示当前位填的数字，如果当前位填了0并且当前位的zeros是1，那么下一位的zeros也是1.
前导0的使用要比上界limit的使用更灵活一点，他是根据题目的要求来使用的。
-
这里主要讲记忆化递归。因为这一个板子用的是dfs，而dfs可能会有超时的问题，所以就有了记忆化递归。记忆化递归要标记好当前的状态，所以用来记忆当前状态的数组也是要根据题目设定。
当题目中有多个测评样例时，进行记忆化的时候要注意不要记住在特定数下的答案。所以有下面的代码
if(limit == 0) dp[cnt][last][zeros] = res;
为什么要在limit=0时才进行记忆化呢？因为limit=1说明当前的数是贴上界的，而这个数是受当前这个样例影响的，比如2345这个数字，在遍历到百位数字3时，我是贴上界的，如果千位数字是2，那么此时十位数字只能选0-4，此时得到的res是从0-4递归得到的。但是如果换一个数字2377，在遍历到百位数字3时，我如果是不贴上界的，可选的数字应该是0-9，如果是贴上界的，可选的数字是0-7，明显此时的状态dp[3][3][0]和数字2345的转移是不一样的。所以我只有不贴上界的时候，说明后面的转移都是0-9时才进行记忆。
读取记忆的时候也是同样的道理，
if(limit==0&&dp[cnt][last][zeros]!=-1) { return dp[cnt][last][zeros]; }
只有此时不贴上界的时候才能读取之前的记忆。
记忆化数组根据具体的题目来设定，并不是统一的，具有高度灵活性，只要解释起来没问题就可以。像小明数这道题没有记忆limit，有些情况也是可以记忆limit的。
分析题目
针对小明数而言，前导0会影响答案，为什么？题目要求相邻两数之差绝对值不超过k，如果存在前导0并且不加以判断那么会认为前导0也是有效数字，那么0后面只能填0-k，但实际前导0应该是无效数字，前面一个数字是前导0，后面可以填0~9中的任意一个数字。如果没有判断前导零，会导致结果比实际的小。 求某些数字相邻位数上的数字之差的绝对值不超过k，来想一下dfs的时候需要什么，必然要有的是当前的位数cnt和是否贴上界limit，刚刚也分析了需要判断前导零，所以有zeros。遍历到cnt位时，来判断一下当前位可以填啥，我要满足相邻位数上的数字之差的绝对值不超过k，我得知道前一个位数我填的是几，所以就有了last，指示前一个位数上填的数字。然后就没有其它的了，所以 dfs(cnt,last,zeros,limit)，接下来就直接放代码了。
java
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int dp[][][] = new int[20][20][2];//还要记录当前的状态是不是有前导零！！！！！！！
static int a[] = new int[20];
static int k,ans;
static int nums[] = new int[20];
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int t = scanner.nextInt();
while(t-- > 0) {
for(int i = 0;i < 20;i++)
for(int j = 0;j < 20;j++)
Arrays.fill(dp[i][j],-1);
k = scanner.nextInt();
long l = scanner.nextLong();
long r = scanner.nextLong();
System.out.println(solve(r)-solve(l-1));
private static int solve(long n) {
// TODO Auto-generated method stub
int cnt = 0;
while(n > 0) {
a[++cnt] = (int) (n%10);
n/=10;
}
return dfs(cnt,1,-1,1);
}
private static int dfs(int cnt, int limit, int last,int zeros) {//前导0对答案有影响！！！！！！
// TODO Auto-generated method stub
if(cnt==0) {
return 1;
}
if(limit==0&&dp[cnt][last][zeros]!=-1) {
return dp[cnt][last][zeros];
}
int res =0;
int up = limit==1?a[cnt]:9;
for(int i = 0;i <= up;i++) {
if(Math.abs(last-i)<=k||zeros==1) {//3 1 2 0 dp[1][0]
nums[cnt] = i;
res += dfs(cnt-1, limit&(i==up?1:0), i,zeros&(i==0?1:0));//120
}
}
if(limit == 0) dp[cnt][last][zeros] = res;
return res;
}
}如果代码有问题，欢迎在评论区内提出来！第三个板子就不讲啦，其实就是把第二个板子的dfs变成dp，但是个人感觉没有dfs灵活，目前在用第二个板子。